Позьӧ-ӧ шар торъясысь тэчны сыкӧд ӧтыджда кык шар?

ӧткодьысь тэчсьӧм мыгӧръяс – равносоставленные фигуры

унапельӧса – многоугольник

унабана – многогранник

дорыш – ребро (у многогранника)
эрд – площадь
йӧрыш – объём

Ӧткодьысь тэчсьӧм мыгӧръяс школа геометрияын. Торйӧдлам унапельӧсаӧс либӧ унабанаӧс некымын унапельӧса (унабана) вылӧ да юкӧнъяссьыс тэчам выль мыгӧр. Быд тор позьӧ бергӧдны, вештыны, сідзжӧ позьӧ рӧмпӧштан симметрия вӧчны; колӧ нӧшта, медым торъя юкӧнъяслӧн пытшкӧсса чутъясыс эз лӧсявны ӧта-мӧдыскӧд.

Медводдза да артмӧм мыгӧръясыс шусьӧны ӧткодьысь тэчсьӧмъясӧн.

Школа геометрияысь ми тӧдам: ӧткодьысь тэчсьӧм унапельӧсаяслӧн (унабанаяслӧн) эрдыс (йӧрышыс) ӧткодь.

Сідзкӧ, торйӧдлам кӧ ми 1 сантиметр дорыша куб некымын унабана вылӧ, юкӧнъяссьыс артмӧдны 1 сантиметр дорыша кык куб огӧ вермӧй: ӧти кубыслӧн 1 см³ йӧрышыс, а кык кубыслӧн 2 см³ ӧтувъя йӧрышыс.

Нюкыля дора мыгӧръяс. Унапельӧсаяс да унабанаяс пыдди позьӧ видлавны мыгӧръяс, кодъяслӧн дорыс – чукля визь либӧ нюкыля веркӧс. Визьыс либӧ веркӧсыс кӧ тэчсьӧма ӧти либӧ некымын шыльыд торъясысь, сэтшӧм мыгӧрлысь позьӧ муртавны эрдсӧ либӧ йӧрышсӧ.

Вундам сэтшӧм мыгӧрсӧ некымын юкӧн вылӧ, кодлӧн дорыс сідзжӧ тэчӧма некымын шыльыд торъясысь. Тэчам юкӧнъяссьыс выль мыгӧрсӧ. Вылыс математика курсын велӧдӧны: артмӧдӧм да медводдза мыгӧръясыслӧн эрдыс (йӧрышыс) ӧткодь.

Муртавтӧм ылдӧс юкӧнъяс да Банах – Тарскӧй парадокс. Тшӧтшкӧслӧн да ылдӧслӧн юкӧн вермӧ лоны зэв дзугӧн (серпас вылын петкӧдлӧма некымын пример – сідз шусяна фракталъяс).

Позьӧ-ӧ сідзи урчитны быд ылдӧс юкӧнлысь йӧрышсӧ, медым ӧткодьысь тэчсьӧм мыгӧръяслӧн йӧрышыс вӧлі ӧткодь? (Ми ӧні вермам мыгӧръяссӧ торйӧдны зэв-зэв дзуг юкӧнъяс вылӧ, кодъясӧс весиг син водзӧ вайӧдны огӧ вермӧй.)

Стефан Банах да Альфред Тарскӧй (XX нэмся математикъяс) петкӧдлӧмаӧсь: оз позь. Найӧ торйӧдлӧмаӧсь 1 радиуса шар аслыссикас вит юкӧн вылӧ. Сэсся юкӧнъяссӧ бергӧдлӧмаӧсь, вештӧмаӧсь, вӧчӧмаӧсь рӧмпӧштан симметрия да артмӧм торъяссьыс тэчӧмаӧсь 1 радиуса кык шар. Быд юкӧнлысь кӧ позис муртавны йӧрышсӧ, миян артмис: ӧти шарлӧн да сыкӧд ӧтыджда кык шарлӧн ӧткодь йӧрыш. Тайӧ, дерт, оз вермы лоны.

Сідзкӧ: шар да кык шар ӧткодьысь тэчсьӧмаӧсь. Тайӧ оз лӧсяв миян интуициякӧд: шуам, кӧрт шар юклігӧн ми огӧ вермӧ вӧчны кык сэтшӧм жӧ кӧрт шар... али теория серти – позьӧ? Вӧчим эськӧ кык шар, сэсся нёль шар, сэсся кӧкъямыс да с.в.?

Кӧрт ёкмыль юклӧм. Шар – тайӧ идеальнӧй модель. Кӧрт шар жӧ тэчӧма атомъясысь, атомъяс – протонъясысь, электронъясысь, нейтронъясысь. Торйӧдлам кӧ ми сійӧс атомъяс оръявтӧг, миян оз нин артмыны сэтшӧм дзуг юкӧнъяс, кодъяслысь оз позь муртавны йӧрыш либӧ масса. Сідзкӧ, Банах – Тарскӧй парадокс оз отсав миянлы 1 кг кӧртысь вӧчны 1000 кг кӧрт.

PS Ыджыд аттьӧ текст редактируйтӧмысь!

Грацианскӧй да Кавун нёльӧд класслы задачникысь терминъяс

Вӧчи ӧтластитан радз. Гашкӧ, эг на став термин казяв. Перым небӧгын мыйлакӧ видзчысисны "объём" терминысь, но ӧти местаысь аддзи "гырк" кывсӧ.

роч	зыряна	перым
площадь	площадь (плошщаԃ)	площадь (плошщаԃ)
в среднем	шӧркодя лыддьӧмӧн (шӧркоԃа лыԃԃӧмӧн)	шӧр лыдӧн (шӧр лыԁӧн)
длина	кузьта (куԅта)	кузь (куԅ)
ширина	пасьта (паԍта)	паськыт (паԍкыт)
прямоугольник	веськыдпельӧса (веԍкыԁпеԉӧса); веськыднёльпельӧса (веԍкыԁԋоԉпеԉӧса)	прямоугольник (прјамоугоԉԋік)
измерение	мерайтӧм (мерајтӧм), мурталӧм	мерайтӧм (мерајтӧм)
чертёж	гижла (гіжла)	сер (ԍер)
сторона	бок	дор (ԁор)
трёхзначное число	куимпаса лыд (кујімпаса лыԁ)	куим паса лыд (кујім паса лыԁ)
разделить	юкны (јукны)	юкавны (јукавны)
множимое	ӧктан	боссян (боԍԍан)
множитель	ӧктысь (ӧктыԍ)	босьтан (боԍтан)
произведение	ӧктас	лоан лыд (лоан лыԁ)
умножить	ӧктыны	босьтавны (боԍтавны)
делимое	юкан (јукан)	юкасян (јукаԍан)
делитель	юкысь (јукыԍ)	юкалан (јукалан)
частное	юкас (јукас)	тор
остаток	коляс (коԉас)	кольччӧм (коԉтчӧм)
мера объёма	йӧрыш мерайтан мера (јӧрыш мерајтан мера)	кубическӧй мера (кубіческӧј мера)
мера массы	сьӧкта мерайтан мера (ԍӧкта мерајтан мера)	ӧшлісян мера (ӧшліԍан мера)
объём	йӧрыш (јӧрыш)	гырк
дробь	дроб (ԁроб)	дроб (ԁроб), тор
сложение	содтӧм (соԁтӧм)	содтӧм (соԁтӧм)
вычитание	чинтӧм (чінтӧм)	чинтӧм (чінтӧм)
десятичная дробь	десятичнӧй дроб (ԃеԍаԏічнӧј ԁроб)	даса дроб (ԁаса ԁроб)
сократить	дженьдӧдны (җеԋԁӧԁны)	джендӧтны (җенԁӧтны)
угол	пельӧс (пеԉӧс)	пельӧс (пеԉӧс)
прямой угол	веськыд пельӧс (веԍкыԁ пеԉӧс)	веськыт пельӧс (веԍкыт пеԉӧс)
вершина	йыв (јыв)	йыв (јыв)
окружность	кытш (кыщ), гӧгыль (гӧгыԉ)	гӧгрӧс
дуговой градус	дуговӧй градус (ԁуговӧј граԁус)	гӧгрӧс градус (гӧгрӧс граԁус)
угловой градус	пельӧс градус (пеԉӧс граԁус)	пельӧс градус (пеԉӧс граԁус)
круговая диаграмма	кытша диаграмма (кыща ԃіаграмма)	гӧгрӧса диаграмма (гӧгрӧса ԃіаграмма)
целое число	быдса лыд (быԁса лыԁ)	быдса лыд (быԁса лыԁ)
скорость	ӧд (ӧԁ)	чож
среднее число	шӧркодя лыд (шӧркоԃа лыԁ)	шӧр лыд (шӧр лыԁ)
треугольник	куимпельӧса (кујімпеԉӧса)	треугольник (треугоԉԋік)
остроугольный треугольник	ёсь пельӧсъяса куимпельӧса (јоԍ пеԉӧсјаса кујімпеԉӧса)	йыла пельӧссэза треугольник (јыла пеԉӧссеза треугоԉԋік), йывпельӧса треугольник (јывпеԉӧса треугоԉԋік)
прямоугольный треугольник	веськыд пельӧса куимпельӧса (веԍкыԁ пеԉӧса кујімпеԉӧса)	веськытпельӧса треугольник (веԍкытпеԉӧса треугоԉԋік)
тупоугольный треугольник	паськыд пельӧса куимпельӧса (паԍкыԁ пеԉӧса кујімпеԉӧса)	ныжпельӧса треугольник (ныжпеԉӧса треугоԉԋік)
основание (треугольника)	дін (ԁін)	подув (поԁув)
высота	судта (суԁта)	вылын
обыкновенная дробь	прӧстӧй дроб (прӧстӧј ԁроб)	простӧй дроб (простӧј ԁроб)
шар	сяр (ԍар)	шар
ось	чӧрс	ось (оԍ)
многоугольник	унапельӧса (унапеԉӧса)	многоугольник (многоугоԉԋік)

НЁЛЬ РӦМ ЙЫЛЫСЬ МОГ

Мусерпас лӧсьӧдӧны сідзи, медым быд кык орчча му юкӧн вӧлі мавтӧма торъя рӧмӧн. (Орчча территорияяслӧн эм ӧтувъя визь; кык территориялӧн кӧ эм сӧмын ӧти либӧ некымын ӧтувъя чут, найӧ абу орччаӧсь.) Кымын рӧма краска ковмас та вылӧ? Тайӧ могсӧ вӧлі пуктӧма 1852-ӧд воын Френсис Гутри.

Куим рӧм вермас не тырмыны. Шуам, ӧти обласьт кӧ гӧгӧртӧма куим обласьтӧн серпас вылас моз, быть ковмас вӧдитчыны нёль рӧмӧн.

XIX нэм помын вӧлі петкӧдлӧма: быд мусерпас мавтӧм вылӧ тырмас вит рӧм.

Мый нӧ позьӧ шуны нёль рӧм йылысь? Вочакывсӧ зэв дыр некод эз вермы сетны. 1976-ӧд воын Кеннет Аппель да Вольфганг Хакен гӧгӧрвоисны: нёль рӧм тырмас. Налӧн эскӧдӧмыс вӧлі вывті кузь да дзуг, да мыджсис компьютерӧн арталӧм вылӧ. Лыддигӧн да ки помысь арталігӧн ни ӧти морт эз вермы гӧгӧрвоны – ставыс-ӧ гижӧма ӧшыбкатӧг? Та вӧсна ӧткымын математик чайтіс: теоремаыс тырвыйӧ подулавтӧм.

1997-ӧд воын Робертсон, Сандерс, Сеймур да Томас гижӧмаӧсь кокньыдджык эскӧдӧм (бара компьютерӧн арталӧм вылӧ мыджсьӧмӧн).

“Нёль рӧм” ворсӧм. Уна юкӧна мусерпас кӧ мавтны сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн рӧмъяс содталігӧн, зэв кокньыд “сорсьыны”: ковмас витӧд рӧм.

Петкӧдлам пример. Тайӧ серпас вылас мавтӧма куим мутор (1, 2, 3). Кутшӧм рӧмӧн мавтны 4 мусӧ? Позьӧ мавтны гӧрд рӧмӧн (кыдзи и 1 мусӧ), а позьӧ босьтны нёльӧд рӧмсӧ. Босьтам кӧ нёльӧд рӧмсӧ, 5 мусӧ ковмас мавтны витӧд рӧмӧн.

Стивен Барр вӧзйис со кутшӧм ворсӧм. Ворсӧны кык морт нёль рӧма карандаш отсӧгӧн.

Ӧти ворсысьыс серпасалӧ кутшӧмкӧ обласьт.

Мӧд ворсысьыс мавтӧ тайӧ обласьтсӧ да сыкӧд орччӧн серпасалӧ мӧд обласьт.

Медводдза ворсысьыс мавтӧ тайӧ обласьтсӧ да серпасалӧ коймӧдӧс, да с.в.

Колӧ, медым орчча обласьтъяс вӧліны торъя рӧма. Ворссьӧ морт, кодлы ковмас витӧд рӧм.

PS Ыджыд аттьӧ текст редактируйтӧмысь!

КОР ЛӦСЬӦДӦМАӦСЬ МИНУСА ЛЫДСӦ?

минуса лыд – отрицательное число

плюса лыд – положительное число

дасъясӧн артасянног – десятичная система счисления

лыд чӧрс – числовая ось 

Ми ставным велалім вӧдитчыны минуса лыдӧн: ичӧтдырсянь тӧдам минуса температура йылысь, телепон выланым вермӧ лоны минуса баланс, школаын велӧдчигӧн унаысь вӧчавлім уджъяс плюса да минуса лыдъясӧн. 

Вӧлӧмкӧ, 18-ӧд нэмын на весиг нималана математикъяс чайтісны: нольысь ичӧтджык лыд – абу збыль лыд.

Мый висьталӧны математика историкъяс?

Важ Египетын да важ Вавилонын минуса лыдсӧ абу на лӧсьӧдӧмаӧсь. Сэки лыдъясӧн вӧдитчӧмаӧсь сӧмын муртасигӧн да эмбур лыддигӧн. Кыдзи нӧ позьӧ мыйкӧ артавны да муртавны, кор сійӧ нинӧмысь на ичӧтджык?

Важ Грецияын минуса лыд паныдасьлӧ Диофантлӧн уджын, но сійӧ шуис тайӧ лыдсӧ “позьтӧмӧн”.

Важ Китайын артасисны бамбук бедьторъясӧн. Мавттӧм бедьторйӧн пасйисны плюса лыд (сійӧс шуисны “збыль лыдӧн”), а сьӧд рӧма бедьторйӧн пасйисны минуса (“ылӧдчана”) лыд. Арталӧм бӧрын кӧ артмис мавттӧм бедьторъясысь тэчас, татшӧм бӧртассӧ босьтісны. Артмис кӧ тэчас сьӧд бедьторъясысь, бӧртассӧ шыбитісны кыдз лӧсявтӧмӧс. 

7-ӧд нэмын Индияын Брахмагупта астроном лӧсьӧдіс плюса да минуса лыдъясӧн  артасян арифметика индӧдъяс. Плюса лыдсӧ сійӧ шуис “эмбурӧн”, а минуса лыдсӧ – “уджйӧзӧн”. Таысь кындзи Брахмагупта лӧсьӧдіс “ноль” лыд да пуктіс подув дасъясӧн артасянноглы:  ыдждасӧ сійӧ пасйывліс дас лыдпасӧн вӧдитчӧмӧн.

Индияын чужӧм лыд гижанногыс паськаліс Матыс Асыввылын да Войвыв Африкаын, а 10-ӧд нэм помлань и Испанияын. Куим нэм мысти минуса лыдӧн вӧдитчывлӧмаӧсь Европаса тшӧтӧводъяс.

Математикъяс дыр на видзчысисны минуса лыдысь. 15–16-ӧд нэм чӧж сійӧс шулывлісны “лӧсявтӧм лыдӧн” (“numeri absurdi”). Весиг 17–18-ӧд нэмын уна туялысь чайтіс минуса лыдсӧ мӧвптӧмӧн. Медым петкӧдлыны сылысь “лӧсявтӧмлунсӧ”, некымын парадокс вӧлі лӧсьӧдӧма.

Ӧтиыс – Арно парадокс. Видлалам –1/1 = 1/–1 ӧткодьлунсӧ. Ми тӧдам: 1 ыджыдджык –1-ысь. Сідзкӧ, ичӧтджык лыд ыджыдджык лыд вылӧ юкӧм да ыджыдджык лыд ичӧтджык лыд вылӧ юкӧм ӧткодьӧсь. 17-ӧд нэмын тайӧ парадокс йылысь унаысь сёрнитлӧмаӧсь да вензьывлӧмаӧсь, но гӧгӧрвоӧдны сійӧс некод эз вермыв.

Мӧд парадокс петкӧдлӧ: быд минуса лыд ыджыдджык помтӧмлунысь. Гижны кӧ 1/1, 1/(1/2), 1/(1/3), 1/(1/4), 1/(1/5) да с.в., артмасны лыдъяс: 1, 2, 3, 4, 5 да с.в. Юклам кӧ 1 кутшӧмкӧ минуса лыд вылӧ (коді ичӧтджык 1-ысь, 1/2-ысь, 1/3-ысь да с.в.), артмас минуса лыд, коді ыджыдджык 1-ысь, 2-ысь, 3-ысь да с.в. Сідзкӧ, сійӧ ыджыдджык помтӧмлунысь.

Кыкнан парадокс артмӧм помкаыс со кутшӧм. 17–18-ӧд нэмын чайтісны: кор a > b да c < d, лоас a/c > b/d. Ӧні тӧдӧны: тайӧс позьӧ шуны, сӧмын став лыдыс кӧ плюса.

Кӧть и чайтісны минуса лыдсӧ “ылӧдчанаӧн”, 17-ӧд нэмын сылы лӧсьӧдӧмаӧсь геометрия вежӧртас. 1685-ӧд нэмын Джон Уоллис “A Treatise of Algebra” (“Алгебра йылысь трактат”) гижӧдын лӧсьӧдӧма лыд чӧрс. Сы вылын став плюса лыд вӧлі пасйӧма нольсянь веськыдвылын, став минуса лыд – шуйгавылын. Но сійӧ жӧ чайтіс: минуса лыдыс ыджыдджык помтӧмлунысь.

Плюса да минуса лыдъяс йылысь лӧсялана теория вӧлі чужтӧма сӧмын 19-ӧд нэмын Гамильтонӧн да Грассманӧн.

PS Ыджыд аттьӧ ставыслы редактируйтӧмысь!