Унабана йылысь Эйлер теорема – 2

унапельӧса – многоугольник

вундӧг – отрезок

йыв – вершина

висьталӧм – утверждение

Воддза гижӧдас ми вӧчим мылькъя унабанаысь тшӧтшкӧс фигура. Унабаналӧн кӧ b бан, j йыв да d дорыш, артмӧм фигураын b – 1 унапельӧса, j йыв да d вундӧг. Став унапельӧсасӧ позьӧ вӧчны мылькъяӧн. Сідзкӧ, Эйлер теорема петӧ водзӧ висьталӧмысь.

Висьталӧм. Мед унапельӧсасӧ юклӧма u мылькъя унапельӧса вылӧ; тайӧ фигураын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Сэки u + j – v = 1.

Эскӧдӧм идеяыс татшӧм. Ми некымынысь содтам либӧ чышкам вундӧгъяс да йывъяс сідзи, медым u + j – v лыд эз вежсьы, да бӧръяпомыс миян артмас ӧти куимпельӧса.

Куимпельӧсаяс вылӧ юклӧм. Босьтам ӧти унапельӧса да нуӧдам сылысь кутшӧмкӧ диагональ. Воддза серпасын кӧ вӧлі u = m, j = n, v = k, выль серпасын лоас u = m + 1, j = n да v = k + 1.

Сідзкӧ, выль серпасын 

u + j – v = (m + 1) + n – (k + 1) = m + n – k. 

Та вӧсна диагональ нуӧдӧм бӧрын u + j – v лыд оз вежсьы.

Диагональяс нуӧдігӧн став унапельӧсасӧ юклам некымын куимпельӧса вылӧ.

Куимпельӧса чышкалӧм. Мед унапельӧса юклӧма u куимпельӧса вылӧ; тайӧ серпасын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Миянлы колӧ петкӧдлыны: u + j – v = 1.

Босьтам куимпельӧса, кодлӧн кӧть ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас, да чышкам сійӧс. Мыйла u + j – v оз вежсьы?

Мед u = m, j = n, v = k. Видлам кык ног.

1) Чышкӧм куимпельӧсаыслӧн кык дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса, ӧти йыв да кык дор; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + (n – 1) – (k – 2) = m + n – k.

2) Чышкӧм куимпельӧсалӧн сӧмын ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса да ӧти вундӧг; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + n – (k – 1) = m + n – k.

Куимпельӧсаяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн чышкалам да бӧръяпомыс миян коляс ӧти куимпельӧса.

Лоас u = 1, j = 3, v = 3, та вӧсна u + j – v = 1 + 3 – 3 = 1. Тайӧн эскӧдӧмсӧ сигӧртам.

Мый лоас, унабана кӧ абу мылькъя?

Мед унабана абу мылькъя, но сылӧн веркӧсыс “сфера сяма”: нюжӧдӧмӧн да топӧдӧмӧн (но орйӧдлытӧг да лемавтӧг) сыысь позьӧ вӧчны сфера. Вӧлӧмкӧ, сэки Эйлер теорема лӧсялӧ.

Веркӧсыс кӧ абу “сфера сяма” (шуам, сійӧ ӧшинь рама кодь), теорема торксьӧ.

PS Ыджыд аттьӧ бур йӧзлы отсӧгысь!

Унабана йылысь Эйлер теорема – 1

мылькъя унабана – выпуклый многогранник

бан – грань

дорыш – ребро

йыв – вершина

видлӧг – пример

тшӧтшкӧс – плоскость, плоский

Эйлер теорема. Мед мылькъя унабаналӧн b бан, d дорыш да j йыв. Сэки b + j – d = 2.

Медводз петкӧдлам некымын видлӧг.

Тетраэдрлӧн 4 бан, 4 йыв, 6 дорыш; b + j – d = 4 + 4 – 6 = 2.

Кублӧн 6 бан, 8 йыв, 12 дорыш; b + j – d = 6 + 8 – 12 = 2.

Витпельӧса пирамидалӧн 6 бан, 6 йыв, 10 дорыш; 

b + j – d = 6 + 6 – 10 = 2.

Квайтпельӧса призмалӧн 8 бан, 12 йыв, 18 дорыш; 

b + j – d = 8 + 12 – 18 = 2.

Октаэдрлӧн 8 бан, 6 йыв, 12 дорыш; b + j – d = 8 + 6 – 12 = 2.

Эйлер эскӧдӧмын тыдовтчисны тырмытӧмторъяс. Колана ногӧн теоремасӧ вермис подулавны прансуз Огюстен Луи Коши. Математиклӧн шӧр мӧвпыс вӧлі татшӧм.

Унабанасӧ “лямӧдам” либӧ “нюжӧдам” да видзӧдлам “артмӧм” тшӧтшкӧс серпас. Думыштам, мый унабанасӧ вӧчӧма резинаысь да быд дорышті ручкаӧн нуӧдӧма визь. Ӧти бансӧ вундам, а кольӧм веркӧссӧ нюжӧдам сідзи, медым сійӧ лои тшӧтшкӧсӧн да быд чертитӧм визь лои вундӧгӧн.

Петкӧдлам некымын видлӧг.

Мед унабаналӧн эм b бан, d дорыш да j йыв. Тшӧтшкӧс серпас вылын лоӧ b – 1 унапельӧса, d вундӧг да j йыв. (Ӧти бан ми вундім, а йыв-дорышсӧ колим.) Сідзкӧ, миянлы колӧ петкӧдлыны: 

(b – 1) + d – j = 1.

Кыдзи тайӧс вӧчны, висьталам водзӧ гижӧдас.

Кымын витпельӧса вермӧ лоны фуллерен молекулаын?

бур унапельӧса – правильный многоугольник 
мылькъя унабана – выпуклый многогранник 
бан – грань 
дорыш – ребро (у многогранника) 
вундӧг – отрезок 
вомӧнасьны – пересекаться
кык бан вомӧнасян вундӧг – отрезок, по которому пересекаются две грани
эскӧдӧм – доказательство 

Фуллерен молекула тэчӧма углерод атомысь. Структура формулаыс бур витпельӧсаысь да квайтпельӧсаысь тэчӧм унабана. Медся тӧдса фуллерен молекулаыс футбол мач кодь. Сылӧн 60 углерод атом, 12 витпельӧса да 20 квайтпельӧса. 

Эм и мукӧд фуллерен: шуам, C70, C540. 

Вӧлӧмкӧ, быд фуллерен молекулалӧн вермӧ лоны сӧмын 12 витпельӧса. Тайӧ петӧ Эйлер теоремаысь: 
мылькъя унабаналӧн кӧ b бан, d дорыш да j йыв, сэки 

b + j – d = 2. 

Эскӧдӧм. Мед молекулаын v витпельӧса да k квайтпельӧса. Сэки сылӧн b = v + k бан. 

Фуллеренлысь структура формуласӧ петкӧдлысь унабаналӧн дорышыс лоӧ кык бан вомӧнасян вундӧгӧн. Торйӧдам унабаналысь веркӧссӧ банъяс вылӧ (v витпельӧса да k квайтпельӧса). Быд дорыш юксяс кык вундӧг вылӧ (ставнас d дорыш). Та вӧсна артмӧм унапельӧсалӧн ставыс лоӧ 2d дор. Мӧдарсянь, v витпельӧсалӧн да k квайтпельӧсалӧн ставыс 5v + 6k дор. Сідзкӧ, 2d = 5v + 6k, либӧ d = (5v + 6k)/2. 

Унабанаыслӧн быд йыв лоӧ куим бан вомӧнасян чутӧн (нёль либӧ унджык бан вомӧнасьны оз нин вермыны). Веркӧссӧ банъяс вылӧ торйӧдігӧн быд йыв артмӧдас нин куим чут. Унабанаыслӧн j йыв, та вӧсна артмӧм унапельӧсалӧн ставыс лоӧ 3j йыв. Мӧдарсянь, v витпельӧсалӧн да k квайтпельӧсалӧн ставыс 5v + 6k йыв. Та вӧсна 3j = 5v + 6k, либӧ j = (5v + 6k)/3. 

Эйлер теорема серти, 

2 = b + j – d = v + k + (5v + 6k)/3 – (5v + 6k)/2 

= v + k + 5v/3 + 6k/3 – 5v/2 – 6k/2 

= v + 5v/3 – 5v/2 = v/6. 

Сідзкӧ, v/6 = 2, кытысь v = 12.

Релятивизм теория йылысь кыв-мӧд

Ыджыд массаа чутӧ гравитация закон серти усьӧ мӧд чут, сы вылын пукалӧ видзӧдысь (наблюдатель). Тайӧ усьӧмыс бӧрся видзӧдӧ вӧрзьӧдчытӧм морт. Мый вермисны эськӧ шуны видзӧдысьясыс ӧта-мӧдыслы? (Гӧгӧрвоӧда улынджык.)

Вӧрзьӧдчытӧм видзӧдысь:

Шарлань матыстчан —

Сы пытшкас

Некор он пыр.

Усьны веркӧсас

Ковмас тэд

Помтӧма дыр.

Усьысь видзӧдысь:

Ме нин шар пытшкас.

Регыдӧн

Шӧрӧдзыс воа.

Кытчӧ веськала сэсся?

...А кадыс сэн лоас?

 

Со кутшӧм кад парадокс артмӧ!

Гӧгӧрвоӧда. Релятивизм теория серти, сьӧкыд чутсӧ гӧгӧртӧма аслыспӧлӧс сфераӧн. Сiйӧ шусьӧ лоӧмтор вӧртасӧн (горизонт событий). Вӧрзьӧдчытӧм видзӧдысь аддзӧ: усьысь чутыс некор тайӧ сфера пытшкас оз пыр, лоӧмтор вӧртасас помтӧма дыр усяс. А усьысь видзӧдысь аддзӧ: сфера пытшкас сійӧ пырӧ пома кадӧн (за конечное время); сыысь унджык, сфера шӧрӧдзыс воас пома кадӧн! А мый лоас сэсся, кытчӧ усьысь чутыс веськалас да позяс-ӧ видзӧдысьыс кад урчитны (гашкӧ, и “сэсся” кыв лӧсявтӧм?), наука нинӧм оз шу.

Но тайӧ, дерт, идеальнӧй модель: масса оз вермы куйлыны ӧти чутын.