Унабана йылысь Эйлер теорема – 2

унапельӧса – многоугольник

вундӧг – отрезок

йыв – вершина

висьталӧм – утверждение

Воддза гижӧдас ми вӧчим мылькъя унабанаысь тшӧтшкӧс фигура. Унабаналӧн кӧ b бан, j йыв да d дорыш, артмӧм фигураын b – 1 унапельӧса, j йыв да d вундӧг. Став унапельӧсасӧ позьӧ вӧчны мылькъяӧн. Сідзкӧ, Эйлер теорема петӧ водзӧ висьталӧмысь.

Висьталӧм. Мед унапельӧсасӧ юклӧма u мылькъя унапельӧса вылӧ; тайӧ фигураын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Сэки u + j – v = 1.

Эскӧдӧм идеяыс татшӧм. Ми некымынысь содтам либӧ чышкам вундӧгъяс да йывъяс сідзи, медым u + j – v лыд эз вежсьы, да бӧръяпомыс миян артмас ӧти куимпельӧса.

Куимпельӧсаяс вылӧ юклӧм. Босьтам ӧти унапельӧса да нуӧдам сылысь кутшӧмкӧ диагональ. Воддза серпасын кӧ вӧлі u = m, j = n, v = k, выль серпасын лоас u = m + 1, j = n да v = k + 1.

Сідзкӧ, выль серпасын 

u + j – v = (m + 1) + n – (k + 1) = m + n – k. 

Та вӧсна диагональ нуӧдӧм бӧрын u + j – v лыд оз вежсьы.

Диагональяс нуӧдігӧн став унапельӧсасӧ юклам некымын куимпельӧса вылӧ.

Куимпельӧса чышкалӧм. Мед унапельӧса юклӧма u куимпельӧса вылӧ; тайӧ серпасын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Миянлы колӧ петкӧдлыны: u + j – v = 1.

Босьтам куимпельӧса, кодлӧн кӧть ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас, да чышкам сійӧс. Мыйла u + j – v оз вежсьы?

Мед u = m, j = n, v = k. Видлам кык ног.

1) Чышкӧм куимпельӧсаыслӧн кык дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса, ӧти йыв да кык дор; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + (n – 1) – (k – 2) = m + n – k.

2) Чышкӧм куимпельӧсалӧн сӧмын ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса да ӧти вундӧг; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + n – (k – 1) = m + n – k.

Куимпельӧсаяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн чышкалам да бӧръяпомыс миян коляс ӧти куимпельӧса.

Лоас u = 1, j = 3, v = 3, та вӧсна u + j – v = 1 + 3 – 3 = 1. Тайӧн эскӧдӧмсӧ сигӧртам.

Мый лоас, унабана кӧ абу мылькъя?

Мед унабана абу мылькъя, но сылӧн веркӧсыс “сфера сяма”: нюжӧдӧмӧн да топӧдӧмӧн (но орйӧдлытӧг да лемавтӧг) сыысь позьӧ вӧчны сфера. Вӧлӧмкӧ, сэки Эйлер теорема лӧсялӧ.

Веркӧсыс кӧ абу “сфера сяма” (шуам, сійӧ ӧшинь рама кодь), теорема торксьӧ.

PS Ыджыд аттьӧ бур йӧзлы отсӧгысь!