Эрд да йӧрыш мурталӧм – 2

• висьталӧм — утверждение
• куимпельӧса —треугольник
• эрд — площадь
• йӧрыш — объём
• подув — основание
• судта — высота
• ӧтгырся — равновеликий
• тӧрӧдӧм мыгӧр — вписанная фигура
• воанлыд — предел
• вомӧнасянін — пересечение

Важ Элладаын тӧдмалӧмаӧсь египетса да вавилонса математика йылысь да некымын нэм чӧж асьныс ёна сӧвмӧдӧмаӧсь наукасӧ. Буретш сэки математикъяс пондӧмаӧсь подулавны ассьыныс висьталӧмъяссӧ (теоремаяссӧ).

Евклидлӧн "Элементъяс" гижӧдыс сиӧма геометрия да арифметика теориялы. Медводдза небӧгын эмӧсь куимпельӧсалӧн да параллелограммлӧн эрдъяс йылысь со кутшӧм теоремаяс: кык куимпельӧсалӧн (параллелограммлӧн) кӧ подувъясыс ӧтыдждаӧсь да судтаясыс ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь жӧ. 11-ӧд небӧгын эмӧсь параллелепипед да призма йӧрышъяс йылысь теоремаяс (шуам: кык параллелепипедлӧн кӧ подувъясыс ӧтгырсяӧсь да судтаясыс ӧтыдждаӧсь, налӧн йӧрышъясыс ӧтыдждаӧсь жӧ; ӧткодь судтаа параллелограммъяслӧн йӧрышъясыс да налӧн подувъяслӧн эрдъясыс артмӧдӧны пропорция, да с.в.).

Кытш эрд да шар йӧрыш йылысь теоремаяс эмӧсь жӧ "Элементъяс"-ын. Кыдзи нӧ найӧс подулалӧмаӧсь?

Вӧлӧмкӧ, важ элладасаяс аслыспӧлӧс метод лӧсьӧдӧмаӧсь (сідз шусяна "помӧдз видзӧм ног"; рочӧн кӧ, "метод исчерпывания", англичан кывйӧн кӧ, "method of exhaustion"). Медводз сійӧс, буракӧ, вӧзйӧма Антифон. Книдса Евдокс бура сӧвмӧдӧма тайӧ методсӧ. Медшӧр идеяыс со кутшӧм. Медым артавны мыгӧрлысь эрдсӧ либӧ йӧрышсӧ, сыӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн тӧрӧдӧны мукӧд мыгӧръяс, кодъяслысь эрдъяссӧ (йӧрышъяссӧ) тӧдӧны нин. Быд тӧрӧдӧм мыгӧр пытшкас воддза мыгӧрыс куйлӧ дзоньнас. 

Эрдъяссӧ (йӧрышъяссӧ) арталӧны да гижӧны сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн: S₁, S₂, ..., S_n, ... Сэсся зільӧны гӧгӧрвоны, кутшӧм лыдӧ воасны тайӧ ыдждаясыс, n лыдсӧ помтӧг содтӧмӧн. Важ Элладаын воанлыдъяс йылысь теория абу на вӧлӧма лӧсьӧдӧма да, тайӧ методнас вӧдитчыны зэв сьӧкыд вӧлі. Медводз корсяна эрд (йӧрыш) йылысь гипотеза вӧзйӧмаӧсь, сэсся петкӧдлӧмаӧсь, мыйла кутшӧмкӧ мӧд ыджда оз вермы лоны воанлыдӧн.

"Элементъяс"-са 12-ӧд небӧгын эм кытшлӧн эрд йылысь теорема (эрдыс лоӧ пропорцияын диаметрыслӧн кузьта квадраткӧд), шарлӧн йӧрыш йылысь теорема (йӧрышыс лоӧ пропорцияын диаметрыслӧн кузьта кубкӧд), тетраэдр йӧрыш йылысь теорема (кык тетраэдрлӧн кӧ судтаясыс ӧткодьӧсь, йӧрышъясыс лоӧны подувъяслӧн эрдъяскӧд пропорцияын), конус да цилиндр йӧрыш йылысь некымын теорема. Буракӧ, тайӧ юкӧдыс вӧлі гижӧма Евдокс результатъяс вылӧ подулалӧмӧн.

Архимед водзӧ сӧвмӧдӧма Евдокслысь методсӧ да кужӧма артавны сфералысь эрдсӧ (сфералӧн эрд ыджыд кытшлӧн эрдысь нёль пӧв ыджыдджык; ыджыд кытш — тайӧ шарлӧн да сылӧн шӧрчут пыр мунысь тшӧтшкӧслӧн вомӧнасянін). 

Сійӧ жӧ арталӧма парабола сегментлысь эрдсӧ.

Эрд да йӧрыш мурталӧм – 1

• тшӧтшкӧс мыгӧр — плоская фигура
• эрд — площадь
• куим муртӧса — трёхмерный
• йӧрыш — объём
• тшӧтшӧдӧм куимпельӧса — усечённый треугольник (трапеция)
• судта — высота
  
• лыдмӧдны — умножить    
  

Тшӧтшкӧс мыгӧръяслысь эрдъяссӧ да куим муртӧса телӧяслысь йӧрышъяссӧ артавлӧмаӧсь Важ Египетын на. Шуам, Ахмес папирусын (сійӧ жӧ Райнд папирусӧн шусьӧ) со кутшӧм гижӧд эм:

"Кутшӧм эрд тшӧтшӧдӧм куимпельӧсалӧн, сылӧн судтаыс кӧ 20 хет, подулыс кӧ 6 хет, а вылыс подулыс кӧ 4 хет кузьта? Ӧтлаӧдӧй улыс подувсӧ вылыскӧдыс. Артмӧданныд 10. Юклӧй 10 лыдсӧ 2 пельӧ. А сэсся 5 босьтӧй 20 пӧв..."

Тшӧтшӧдӧм куимпельӧса — тайӧ трапеция. Гижӧд сертиыс позьӧ аддзыны: эрдсӧ стӧча артавлӧмаӧсь (подувъяслысь сумма джынсӧ да судтасӧ лыдмӧдӧмаӧсь).

Важ египтяна кужлӧмаӧсь тшӧтшӧдӧм пирамидалысь йӧрышсӧ артавны и. Математика йылысь Мӧскуаса папирусын со кутшӧм задача эм: 

"Шуасны тэныд: со тшӧтшӧдӧм пирамида, судтаыс 6, улыс дорыс 4, вылыс дорыс 2. Артав 4-лысь квадрат. Тайӧ лоас 16. Кыкмындаав 4 лыдсӧ. Тайӧ лоас 8. Артав 2-лысь квадрат. Тайӧ лоас 4. Ӧтлаӧд артмӧдӧм 16, 8 да 4-сӧ. Тайӧ лоас 28. Артав 6 лыдлысь коймӧд юкӧн. Тайӧ лоас 2. Кыкмындаав 28 лыдсӧ. Тайӧ лоас 56. Видзӧд: тайӧ 56. Тэ колана лыдсӧ артмӧдін."

Тшӧтшӧдӧм пирамидаыслӧн подувъясыс кӧ квадратъяс, 56 лоас сылӧн йӧрышӧн.

Кытшлысь эрдсӧ египтяна ылӧсалӧмӧн артавлӧмаӧсь: сетӧма кӧ d диаметрыс, эрд пыдди найӧ гижлӧмаӧсь (8d/9)².

Важ вавилоняна сідзжӧ эрдъяс да йӧрышъяс муртавлӧмаӧсь. Кытш эрд корсигӧн найӧ абу египтяна моз арталӧмаӧсь, мӧд ылӧсалан формулаясӧн вӧдитчӧмаӧсь. Кужлӧмаӧсь и кытш сегментлысь эрдсӧ, тшӧтшӧдӧм конуслысь йӧрышсӧ артавны (дерт, бара жӧ ылӧсалӧмӧн).

Важ Египетын да Вавилонын сӧмын арталанног сетавлӧмаӧсь, подулавтӧг.
(водзӧ лоӧ на...)