Евклидлӧн нёль муртӧса ылдӧс

• нёль муртӧса — четырёхмерный
• ылдӧс — пространство
• тшӧтшкӧс — плоскость
• нырвизя вундӧг — направленный отрезок
• лыдмӧдны — умножить
• квадрат вуж — квадратный корень
  

Ми ставным вермам син водзӧ вайӧдны ӧти, кык да куим муртӧса ылдӧсъяс (веськыд визь, тшӧтшкӧс да миянӧс гӧгӧртана ылдӧс). Вӧлӧмкӧ, математикъяс уджалӧны и унджык муртӧса ылдӧсъясӧн. Мыйла тайӧ колӧ — висьтала коркӧ мӧдысь, а ӧні сёрнитыштам Евклидлӧн нёль муртӧса ылдӧс йылысь.

Медводз тӧд вылӧ уськӧдам, мый сэтшӧмыс радиус-вектор тшӧтшкӧсын да куим муртӧса ылдӧсын (водзӧ кутам гижны дженьыда: векторъяс).

Кык муртӧса векторъяс. Кыдзи ми тӧдам школасянь, тшӧтшкӧс вылӧ позьӧ лӧсьӧдны координатаяс система. Радиус-вектор — тайӧ нырвизя вундӧг, сылӧн воддза помыс — (0, 0) чут.

Тӧдам кӧ векторлысь кузьтасӧ да нырвизьсӧ, сідзкӧ тӧдам и мӧд помыслысь координатаяссӧ. Мӧдарӧ, тӧдам кӧ мӧд помыслысь координатаяссӧ, сідзкӧ тӧдам кузьтасӧ да нырвизьсӧ.

Та вӧсна ми вермам векторъяс вылӧ кык ногӧн видзӧдны: нырвизя вундӧгъяс вылӧ моз да координата гоз вылӧ моз.

Ми вермам содтавны да чинтавны векторъяс, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылас:

1) сумма: 

2) чинтас:

Координатаясӧн тайӧ со кыдзи гижсьӧ:

(a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂),

(a₁, a₂) − (b₁, b₂) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂).

Вермам векторсӧ кутшӧмкӧ ыдждакӧд лыдмӧдны (пасъям тайӧ ыдждасӧ λ шыпасӧн). Та могысь ми лыдмӧдам векторлысь кузьтасӧ λ пӧв; нырвизьсӧ бӧръям воддза векторлы моз, λ кӧ плюса, да воддза векторлы паныд, λ кӧ минуса. Серпас вылас петкӧдлӧма, мый артмас, кор λ = 2 да кор λ = −0.5.

Координатаясӧн тайӧ гижсьӧ со кыдзи:

λ(a₁, a₂) = (λa₁, λa₂).

Нӧшта кык вектор позьӧ скаляр ногӧн лыдмӧдны. Та  могысь ми лыдмӧдам куим ыджда: кыкнан векторлысь кузьтаяссӧ да на костса пельӧслысь косинус. Шуам, векторъяс кӧ куйлӧны перпендикуляр ногӧн, скаляр нога лыдмӧдӧм бӧрын артмас 0 (90°-лӧн косинус лоӧ 0 да).

Вӧлӧмкӧ, скаляр ногӧн лыдмӧдӧм координатаясӧн гижсьӧ тадзи:

 ⟨(a₁, a₂), (b₁, b₂)⟩ = a₁b₁ + a₂b₂

(тайӧ ӧткодьлуныс петӧ косинусъяс йылысь теоремаысь; коді сійӧс эз вунӧд, вермас артыштны).

А кыдзи артавны векторлысь кузьтасӧ? Пифагорлӧн теоремаысь петӧ: (a₁, a₂) векторлӧн кузьта лоӧ a₁² + a₂² лыдысь квадрат вуж.

Куим муртӧса векторъяс. Геометрия боксянь ставыс гижсьӧ стӧч кык муртӧса векторъяслы моз, сӧмын куим муртӧса ылдӧсын быд чутлӧн эм куим координата. Сідзкӧ координатаясӧн ставыс со кыдзи гижсьӧ:

1) вектор — тайӧ ылдӧсса чутлӧн координатаясысь куима: (a₁, a₂, a₃);

2) векторъяслӧн сумма да чинтас гижсьӧ тадзи:

(a₁, a₂, a₃) + (b₁, b₂, b₃) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃),

(a₁, a₂, a₃) − (b₁, b₂, b₃) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃);

3) λ пӧв лыдмӧдӧм: λ(a₁, a₂, a₃) = (λa₁, λa₂, λa₃);

4) скаляр ногӧн лыдмӧдӧм:

 ⟨(a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃)⟩ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

5) (a₁, a₂, a₃) векторлӧн кузьтаыс лоӧ a₁² + a₂² + a₃² лыдысь квадрат вуж.

Нёль муртӧса ылдӧс да нёль муртӧса векторъяс. Син водзӧ вайӧдны нёль муртӧса ылдӧс ми огӧ нин кужӧй. А сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн гижӧм нёль лыд вермам гӧгӧрвоны. Сідзкӧ аналогия серти ми шуам:

1) Нёль муртӧса вектор — тайӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн гижӧм нёль лыд: (a₁, a₂, a₃, a₄). Тайӧ вектор чукӧрыс артмӧдӧ нёль муртӧса ылдӧс.

2) векторъяслӧн сумма да чинтас гижсьӧ тадзи:

(a₁, a₂, a₃, a₄) + (b₁, b₂, b₃, b₄) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, a₄ + b₄),

 (a₁, a₂, a₃, a₄) − (b₁, b₂, b₃, b₄) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃, a₄ − b₄);

3) λ пӧв лыдмӧдӧм: λ(a₁, a₂, a₃, a₄) = (λa₁, λa₂, λa₃, λa₄);

4) скаляр ногӧн лыдмӧдӧм:

 ⟨(a₁, a₂, a₃, a₄), (b₁, b₂, b₃, b₄)⟩ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ +a₄b₄.

5) (a₁, a₂, a₃, a₄) векторлӧн кузьтаыс лоӧ a₁² + a₂² + a₃² + a₄² лыдысь квадрат вуж.

Бара жӧ, аналогия серти, ми вермам муртавны кык вектор костысь пельӧс: та могысь ми лыдмӧдам тайӧ векторъяссӧ скаляр ногӧн да юкам артмӧм ыдждасӧ кыкнан векторлӧн кузьта вылӧ (кык да куим муртӧса ылдӧсын вӧлі татшӧм формула да). Артмӧм лыдсӧ шуам пельӧсыслӧн косинусӧн. Скаляр лыдмӧдӧм бӧрын кӧ артмас 0 — сідзкӧ шуам векторъяссӧ перпендикуляр ногӧн куйлысьясӧн. А мый лоас, пельӧсыслӧн косинус кӧ лоӧ 1? Кык да куим муртӧса ылдӧсын ми вермам пельӧссӧ гӧгӧрвоны геометрия боксянь; косинус кӧ лоӧ 1 — сідзкӧ пельӧсыс лоӧ 0 да векторъяс ӧтнырвизяӧсь. Вӧлӧмкӧ, и нёль муртӧса ылдӧсын тадзи жӧ: координатаясӧн арталӧм косинус кӧ лоӧ 1 — сідзкӧ векторъяслӧн координатаясыс пропорцияынӧсь да векторъясыс ӧтнырвизяӧсь. Сӧмын подулавсьӧ тайӧ алгебра ногӧн нин.