Каустикаяс

• йӧткыштчыны — отражаться
• югӧр сетысь — источник света
• ӧтувъя инман чукля визь — общая касательная кривая
• тшӧтшкӧс — плоскость
• вундас — сечение

Гашкӧ, ті аддзывлінныд тасьті либӧ кӧш пыдӧс вылӧ видзӧдігӧн "3" лыдпас формаа югыд визь. Мыйла сійӧ артмӧ?

Оптикаысь ми тӧдам: югӧр йӧткыштчӧ рӧмпӧштан сяма веркӧсысь да вежӧ нырвизьсӧ. Корсюрӧ став йӧткыштчӧм югӧръясыс вомӧнасясны ӧти чутын. Шуам, эллипс йылысь гижӧдын ми висьтавлім: босьтны кӧ эллипс формаа рӧмпӧштан да пуктыны югӧр сетысь сылӧн ӧти фокусӧ, йӧткыштчӧм югӧръяс воасны мӧд фокусӧ; сы местаысь ми аддзам югыд чут. Пырджык йӧткыштчӧм югӧръяслӧн татшӧм ӧтувъя чут абу, но эм ӧтувъя инман чукля визь либӧ инман веркӧс. Буретш сы местаыс и лоас югыдджыкӧн. Тайӧ визьыс либӧ веркӧсыс шусьӧ каустикаӧн.

Медводз видлалам кык пример тшӧтшкӧс вылын.

1. Кытшвизь формаа рӧмпӧштан ӧти чутас пуктам югӧр сетысь. Вӧлӧмкӧ, сэки каустика лоас кардиоидаӧн.

2. Кытшвизьджын формаа рӧмпӧштанлань лэдзам параллель югӧръяс. Сэки каустика лоас нефроида юкӧнӧн.

Татшӧм сяма визьяс позьӧ аддзыны йӧла копей веркӧсысь

либӧ дозмук пыдӧсысь.

Колӧ шуны, тшӧтшкӧсвывса пример отсӧгӧн озджык позь гӧгӧрвоӧдны, мыйла кардиоида артмӧ: лампаыс абу дозмук веркӧс бердӧ крепитӧма. Серпас артмӧм позьӧ стӧчджыка гӧгӧрвоӧдны куим муртӧса модель отсӧгӧн. Босьтам гӧгрӧс конус формаа рӧмпӧштан. Лэдзам параллель югӧръяс, сідзи, медым ӧтиыс муніс рӧмпӧштан веркӧсті. Каустикаӧн лоас кык муртӧса веркӧс. Сылӧн тшӧтшкӧс вундас лоас чукля визьӧн. Вӧлӧмкӧ, тшӧтшкӧсыс кӧ лоӧ конус осьлы перпендикулярӧн, тайӧ вундасыс — кардиоида.

Эпициклоидаяс йылысь

• кытшвизь — окружность
• вӧрастӧм — неподвижный
  
• рациональ лыд — рациональное число
• кытшалана визь — замкнутая кривая
• лыдмӧдны — умножить   

 Водзын ми висьтавлім: кытшвизь кӧ гӧгыльтчӧ веськыд визь вывті буксуйттӧг да шлывгытӧг*, сылӧн быд чут гижтас аслыспӧлӧс чукля визь, коді шусьӧ циклоидаӧн.

Мый артмас, ӧти кытшвизь кӧ гӧгыльтчӧ мӧд (вӧрастӧм) кытшвизь вывті да ӧти кытшыс кӧ куйлӧ мӧд ортсыас?  Гӧгыльтчӧм кӧ лоас буксуйттӧг да шлывгытӧг, кытшвизьса чутлӧн траектория шусьӧ эпициклоидаӧн.

Мед R — вӧрастӧм кытшлӧн радиусыс, r — гӧгыльтчысь кытшлӧн радиусыс, R/r лыдыс рациональ. Сэки эпициклоида лоас кытшалана визьӧн.

 

R/r кӧ лоӧ 1, эпициклоида лоас сьӧлӧм мыгӧра визьӧн; сійӧ шусьӧ кардиоидаӧн.

R/r кӧ лоӧ 2, эпициклоида шусьӧ нефроидаӧн.

R/r кӧ ӧтыджда 3-кӧд, 4-кӧд, 5-кӧд да с.в., эпициклоидаыс  дзоридз кодь лоас.

Эпициклоидаяс артмӧдӧм. Медводз петкӧдлам, кыдзи артмӧдны кардиоида. Кытшвизь вылӧ ӧтмоза пукталам N чут. Нумеруйтам тайӧ чутъяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн: 0, 1, 2, 3, ..., N − 1. Гижтам хордаяс со кыдзи: m лыд кӧ N/2‐ысь ичӧтджык, m номера чутсӧ йитам 2m номера чуткӧд (0 йитам 0-кӧд, 1 — 2-кӧд, 2 — 4-кӧд да с.в.). Кор m лоас N/2 либӧ ыджыдджык, m номера чутсӧ йитам 2m − N номера чуткӧд. Артмӧм серпассьыс аддзам кардиоида; став гижтӧм вундӧгыс сыӧ инмӧ.

Нефроида позьӧ артмӧдны сэтшӧм жӧ ногӧн, сӧмын чутъяслысь номеръяссӧ колӧ 3 пӧв лыдмӧдны: 1 йитам 3-кӧд, 2 — 6-кӧд, 3 — 9-кӧд да сідз водзӧ.

Кутам кӧ номеръяссӧ k пӧв лыдмӧдны, артмас k − 1 "лестука" эпициклоида. Колӧ сӧмын, медым N вӧлі k‐ысь ёна ыджыдджык.

Шуам, босьтам кӧ k = 5, со кутшӧм визь артмас:

Босьтам кӧ k = 8, аддзам 7 "лестука" эпициклоида:

Интерактивнӧй программасӧ аддзи ӧтуввезйысь (сэні N = 200). Медым артмис вӧрастӧм серпас, гижӧй "speed" стрӧкаӧ 0. Сэсся бӧрйӧй k = 2, 3, 4, ..., 15 да гижӧй сійӧс "factor" стрӧкаӧ. Аддзанныд k − 1 "лестука" эпициклоида. Вывті ыджыдӧн кӧ босьтанныд k лыдсӧ, эпициклоида пыдди артмасны мӧд серпасъяс: везъяс, кытшвизьяс да мукӧдтор.

* Инман чутыслӧн ӧдыс кӧ быд здукӧ лоас ноль.

Майтӧг плёнкаяс чукӧръяс

• шыльыд веркӧс — гладкая поверхность
• шӧр чукльӧм — средняя кривизна 
• тшӧтшкӧс — плоскость
• вундӧг — отрезок

Жозеф Плато (1801–1883), Бельгияса математик да физик, нуӧдӧма уна эксперимент майтӧг плёнкаясӧн.

Со кутшӧм аслыспӧлӧслун больк чукӧръяслысь сійӧ казялӧма.

Майтӧг плёнкаяс тэчӧмаӧсь шыльыд веркӧсъясысь. Кутшӧм налӧн формаыс? Кык пример ми тӧдам нин: катеноид да сфера. Вӧлӧмкӧ, оз быд веркӧс вермы лоны майтӧг плёнка юкӧнӧн. 

Шыльыд веркӧсса быд чутлӧн эм лыда характеристика — шӧр чукльӧм. Плато аддзӧма: майтӧг плёнкалӧн быд шыльыд юкӧнлӧн шӧр чукльӧм лоӧ константаӧн. Вылыс математикатӧг абу кокньыд шӧр чукльӧм йылысь висьтавны, та вӧсна ми сӧмын некымын пример вайӧдлам: 1) тшӧтшкӧслӧн шӧр чукльӧм лоӧ 0; 2) R радиуса сфералӧн шӧр чукльӧм лоӧ 1/R; 3) катеноидлӧн шӧр чукльӧм лоӧ 0.

 
Кыдзи вомӧнасьӧны тайӧ веркӧсъясыс? Вӧлӧмкӧ, быд вомӧнасянінысь (чукля визьысь) петӧ куим веркӧс; на костын пельӧсъясыс 120° ыдждаӧсь. Коді лыддис Штейнерлӧн мог йылысь, гашкӧ, казьтылас: куим чутӧс йитысь меддженьыд туй кӧ тэчӧма куим вундӧгысь, на костса пельӧсъяс тшӧтш 120° ыдждаӧсь.

Кыдзи вомӧнасьӧны веркӧс доръясыс? Плато казялӧма: быд вомӧнасян чутысь петӧ нёль дор; тайӧ чукля визьяс костын пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь бур тетраэдрлӧн судтаяс костса пельӧскӧд (≈ 109.47°).

Математика боксянь Плато законъяссӧ подулалӧма Джин Тэйлор 1976-ӧд воын.

Майтӧг больк

• веркӧс — поверхность
• йӧрыш — объём
• зэвтӧм энергия — энергия натяжения
• эрд — площадь
• тшӧтшкӧс — плоскость
• кытшвизь — окружность
• куим муртӧса телӧ — трёхмерное тело      

Майтӧг болькъяс вылӧ видзӧдігӧн ставным казялам налысь гӧгрӧс формасӧ. Мыйла татшӧм формаыс артмӧ?

Больк гартӧ сынӧдлысь кутшӧмкӧ юкӧн; веркӧс вӧрӧдчигӧн болькйын сынӧд йӧрышыс оз вежсьы. Физика законъяс серти, веркӧс эрдыс кӧ медічӧт, сылӧн зэвтӧм энергияыс тшӧтш лоӧ медічӧтӧн.

Сідзкӧ, сетӧм йӧрыша телӧяс пӧвстысь колӧ бӧрйыны сэтшӧмӧс, медым сылӧн веркӧсыс вӧлі медічӧт эрда.

 
Казьтыштам: тшӧтшкӧсын медся дженьыд визь, коді гартӧ сетӧм эрда мыгӧрсӧ, лоӧ кытшвизь. Мӧд ногӧн кӧ шуны, мыгӧрыс гӧгрӧс формаа. 

Вӧлӧмкӧ, куим муртӧса телӧяс йылысь задачалы вочакыв сэтшӧм жӧ: медічӧт эрда веркӧсыс лоӧ сфера. Тайӧс петкӧдлӧма немеч математик Герман Шварц 1884-ӧд воын. 

 Со мый вӧсна ӧтка больк гӧгрӧс.

Майтӧг плёнкаяс йылысь

• кытшвизь — окружность
• тшӧтшкӧс — плоскость
• бергалан веркӧс — поверхность вращения
• веркӧс артмӧдысь — образующая поверхности
• эрд — площадь

Вӧйтам майтӧг гудрасӧ кык кольча, сэсся бӧр перъям. Кольчаясыс кӧ абу вывті ылынӧсь ӧта-мӧдсяньыс, на костын вермас зэвтчыны плёнка. Кутшӧм лоас сылӧн формаыс?

 

Мед кольчаяс-кытшвизьяс куйлӧны параллель тшӧтшкӧсъясын, налӧн шӧрчутъяссӧ йитан веськыд визьыс лоӧ тшӧтшкӧсъясыслы перпендикулярӧн. Симметрия серти позьӧ шуны: плёнкаыс лоас тайӧ перпендикуляр гӧгӧр бергалан веркӧсӧн.

 

Мый сійӧ бергалан веркӧс? Босьтам кутшӧмкӧ тшӧтшкӧсджын. Сылӧн дорыс лоӧ веськыд визь; пасъям сійӧс m шыпасӧн. Гижтам тшӧтшкӧсджынйын кутшӧмкӧ чукля визь; шуам сійӧс веркӧс артмӧдысьӧн. Бергӧдам тшӧтшкӧсджынсӧ m веськыд визь гӧгӧр 360° вылӧ. Чукля визь бергалӧмӧн артмас веркӧс, коді шусьӧ m чӧрс (ось) гӧгӧр бергалан веркӧсӧн.

Медічӧт эрда веркӧс. Физика законъяс серти, плёнкаыс зэвтчас сідзи, медым веркӧсыслӧн лои медічӧт эрдыс (сэки сылӧн энергияыс лоас медічӧтӧн).

Вӧлӧмкӧ, кытшвизьяс-кольчаяс кӧ ӧта-мӧдсяньыс абу вывті ылын, плёнка веркӧсыслӧн артмӧдысь лоас бергалан чӧрслань нюкыльтчӧм чеп визьӧн. Тайӧ бергалан веркӧсыс шусьӧ катеноидӧн.

Кытшвизьясыс кӧ ӧта-мӧдсяньыс ылынӧсь, найӧс катеноидӧн оз позь йитны. Медічӧт эрда веркӧсыс лоас тэчӧма кык кытшысь (кольчаяс пытшкын зэвтчӧм плёнкаясысь).

Тайӧс позьӧ и экспериментысь аддзыны. Босьтам плёнкаӧн йитӧм кык кольча. Пондам найӧс ньӧжйӧника кыскавны ӧта-мӧдсяньыс. Кутшӧмкӧ здукӧ катеноид формаа плёнкаыс орас да кыкнан кольча пытшкас артмас тшӧтшкӧс плёнка.

ЧЕП ВИЗЬ

• петкӧдлан функция — показательная функция
• плюса лыд — положительное число
• бур унапельӧса — правильный многоугольник
• изъяс рӧшкыдмӧм — выветривание горных пород

Ӧшӧдам чеп либӧ гез сылысь кык помсӧ крепитӧмӧн. Кутшӧм лоас сылӧн формаыс?

Медводз шуам кыв-мӧд история йылысь. Галилео Галилей 1638-ӧд воын пасйӧма, ӧшалысь гезйыс пӧ пӧшти парабола кодь (y = cx² функция график кодь). Та вӧсна тшӧкыда гижӧны, Галилей пӧ чайтӧма чеп визьсӧ параболаӧн.

Иоахим Юнг, немеч математик да философ, петкӧдлӧма: тайӧ абу парабола. Сёрӧнджык нин чеп визьлысь стӧч формасӧ тӧдмалӧмаӧсь Г. Лейбниц, К. Гюйгенс да И. Бернулли; сы йылысь 1691-ӧд воын вӧлі йӧзӧдӧма гижӧд Acta Eruditorum журналын.

Гипербола косинус. Водзын ми висьтавлім e лыд да петкӧдлан функцияяс йылысь. Вайӧй артмӧдам e^x да e^‐x функцияясысь со кутшӧм комбинация: (e^x+e^‐x)/2. Сійӧ и шусьӧ гипербола косинусӧн. (Мыйла сідзи шусьӧ, ӧні огӧ кутӧй гӧгӧрвоӧдны, тригонометрия формулаяс ковмас казьтывны да.) Пасйӧны гипербола косинус функциясӧ кыдзи ch x. Графикыс серпас вылын петкӧдлӧма.

Вӧлӧмкӧ, чеп визь формасӧ позьӧ петкӧдлыны гипербола косинус отсӧгӧн. Стӧчджыка кӧ, сійӧ лоӧ горизонтальӧд да вертикальӧд вештӧм y = a∙ch(x/a) функция график, кӧні a — кутшӧмкӧ плюса лыд.

Унапельӧса кӧлесаяс. Позьӧ-ӧ вӧчны сэтшӧм туй, медым квадрата кӧлесаа машина сы кузя шердйысьтӧг ветліс? Вӧлӧмкӧ, позьӧ. Колӧ тэчны сылысь веркӧссӧ кымыньтӧм чеп визь мегыръясысь, кыдзи серпас вылын петкӧдлӧма.

Колана ногӧн чеп визь мегыръяс бӧрйӧмӧн позьӧ и мукӧд бур унапельӧса кӧлесаяслы лӧсялана туй вӧчны (куимпельӧсаысь кындзи).

Аркаяс. Кымыньтӧм чеп визь унаысь паныдасьлӧ архитектураын: шуам, 

Будапештса Keleti вокзал вевт,

 Шеффилдса Тӧвся сад вевт,

Барселонаса Casa Milà керкалӧн вевтувса аркаяс.

Косьтан пачьяслӧн профильыс тшӧкыда жӧ овлӧ кымыньтӧм чеп визь формаа.

Америкаса Юта штатын изъяс рӧшкыдмӧм понда артмӧм аркаяс (Rainbow Natural Bridge, Kolob Arch, Landscape Arch) тшӧтш пӧ кымыньтӧм чеп визьяс кодьӧсь.

Мый сійӧ e лыд?

• эма лыд — натуральное число
  
• петкӧдлан функция — показательная функция
  

 

Сьӧм прӧчентъяс арталӧм. Со ми пуктім банкӧ 1 сюрс шайт. Во помын кӧ банкыс содтӧ 100%, миянлы бӧр сетасны 2 сюрс шайт.

Мый артмас, банкыс кӧ вонас кыкысь прӧчентъяс содтӧ? Стӧчджыка кӧ, во джын мысти кӧ содӧ 50%, а сэсся нӧшта 50% содас (артмӧм суммаысь)? Бӧр сетасны 1,5∙1,5 = 1,5² = 2,25 сюрс шайт.

Мый нӧ артмас, банкыс кӧ вонас n‐ысь прӧчентъяс содтавны кутас? Во n‐ӧд юкӧн мысти артмас 1+1/n сюрс шайт. Сэсся, бара во n‐ӧд юкӧн мысти банкыс содтас 1+1/n шайтысь нӧшта n‐ӧд юкӧн. Артмас (1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайт. Сы бӧрын банкыс бара содтас n‐ӧд юкӧн, ӧні нин (1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайтысь. Артмас (1+1/n)∙(1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайт. Во помын миян лоас (1+1/n)ⁿ сюрс шайт.

Вӧлӧмкӧ, тшӧкыдджыка кӧ прӧчентъяс артавны кутам (гырысьджык n лыд кӧ босьтам), во помын унджык сьӧм воас. Но вывті ыджыд барыш оз ло: вӧлӧмкӧ, n лыдсӧ помтӧг содтӧмӧн воам e ≈ 2,718281828459045... сюрс шайтӧ.

Банк прӧчентъяс арталӧм йылысь гижӧд 1690-ӧд воын йӧзӧдӧма Яков Бернулли, швейцарияса математик.

 

 

Факториалъяс да e лыд. Мед n — кутшӧмкӧ эма лыд; сылӧн факториалӧн шусьӧ 1∙2∙3∙4∙...∙(n − 1)∙n лыд. Сійӧс пасйӧны кыдзи n! (лыддьӧны: n факториал). Шуам, 1! = 1, 2! = 1∙2 = 2, 3! = 1∙2∙3 = 6, 4! = 1∙2∙3∙4 = 24, 5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120, да с.в.

Ӧні вайӧй гижам со кутшӧм суммаяс:

1 + 1/1!;

1 + 1/1! +1/2!;

1 + 1/1! +1/2! + 1/3!;

1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4!;

...

1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!

...

Вӧлӧмкӧ, n лыдсӧ помтӧг ыдждӧдӧмӧн бара воам e лыдӧ. (Кӧсъянныд кӧ, компьютер либӧ калькулятор отсӧгӧн арталӧй тайӧ суммаяссӧ да аддзанныд, кыдзи найӧ вочасӧн матыстчӧны 2,718281828459045... лыд дорӧ.)

Петкӧдлан функция, чут координата да ӧд. Школаысь ми тӧдмалім петкӧдлан функция йылысь. Сетӧма кӧ кутшӧмкӧ плюса a лыд, быд x лыдлы сійӧ сетӧ f(x) = a^x лыдсӧ; a лыдыс кӧ 1-ысь гырысьджык, петкӧдлан функцияыслӧн со кутшӧм график (серпас вылас куим график: a = 1,5; a = 2; a = 3 лыдъяслы):

Вӧлӧмкӧ, a кӧ лоӧ e, тайӧ функцияыслӧн эм интереснӧй аслыспӧлӧслун. Мед чут мунӧ веськыд визьӧд да быд t кад здукӧ сылӧн координатаыс лоӧ e^t. Вӧлӧмкӧ, быд t кад здукӧ и ӧдыс лоӧ e^t. Тайӧ аслыссикаслун понда e лыд математикъяслы да физикъяслы зэв ёна колана.