Эрд да йӧрыш мурталӧм – 6

• тшӧтшкӧс — плоскость
• ылдӧс — пространство
• пельӧм — дробь 
• кыв вожалӧм — противоречие

Сідзкӧ, XIX‐ӧд нэм пом кежлӧ математикъяс урчитӧмаӧсь, мый сэтшӧмыс эрд да йӧрыш. Эрд да йӧрыш арталан формулаяссӧ сідзжӧ подулалӧмаӧсь. Но регыд мысти математикъяслы Жорданлӧн да Риманлӧн теорияыс эз нин ло тырмымӧн: найӧ пондӧмаӧсь туявны веськыд визьлысь, тшӧтшкӧслысь да ылдӧслысь зэв дзуг юкӧнъяс. (Колӧ шуны, пӧрысьджык математикъяс пӧвстысь кодсюрӧ татшӧм "лёкторъяс" видлалӧмлы паныд сувтлӧма, весиг гижлӧма, зывӧкпырысь пӧ та вылӧ видзӧда. Но XX‐ӧд нэмын лои гӧгӧрвоана: "консерваторъяс" абу правӧсь.) 

Вайӧй со кутшӧм мыгӧр видлалам. Босьтам (0, 0), (0, 1), (1, 0) да (1, 1) йывъяса квадрат (пасъям сійӧс K шыпасӧн) да бӧръям сы пытшкӧсса рациональ лыда координатаяса став чутсӧ (рациональ лыд — тайӧ m/n пельӧм, кӧні m да n — дзонь лыдъяс). Пасъям тайӧ чут чукӧрсӧ M шыпасӧн. Петкӧдлам: M‐лысь эрдсӧ оз позь артавны Жордан ногӧн. 

 Юклам K квадратсӧ ӧткодь посни квадратъяс вылӧ да видлам ылӧсас артавны M‐лысь эрдсӧ, кыдзи водзын висьтавлім.

1) Босьтам став квадратсӧ, кӧні эм кӧть ӧти ӧтувъя чут M‐кӧд, да арталам налысь эрд суммасӧ. Но быд квадратлӧн шӧрчутыс куйлӧ M‐ын: сылӧн кыкнан координатаыс рациональ. Сідзкӧ, колӧ артавны эрд суммасӧ став квадратыслысь. Тайӧ лоас 1 (K-лӧн эрд). Посньӧдам кӧ квадратъяссӧ, бара артмас 1. Та вӧсна M‐лӧн эрд лоӧ 1 (позьӧ кӧ сійӧс Жордан ногӧн артавны).

2) Ӧні босьтам M пытшкас куйлысь став квадратсӧ да арталам налысь эрд суммасӧ. Но быд квадрат пытшкын эм иррациональ абсциссаа чут. Сідзкӧ, ни ӧти квадрат M-ӧ тӧрӧдны оз позь, та вӧсна суммаыс лоас 0. Посньӧдам кӧ квадратъяссӧ, бара лоас 0. Та вӧсна M‐лӧн эрдыс лоӧ 0.

Со мый артмис: ӧтарсянь кӧ, M‐лӧн эрдыс лоӧ 1, мӧдарсянь кӧ, сійӧ жӧ лоӧ 0. Тайӧ кыв вожалӧм.

1901–1904-ӧд воясӧ Анри Лебег, прансуз математик, лӧсьӧдӧма выль теория. Сійӧ петкӧдлӧма, кыдзи мӧд ног позьӧ артавны эрдъяс да йӧрышъяс, а сідзжӧ функциялӧн графикувса юкӧнлысь эрдсӧ. 

 

Лебег теория йылысь тані огӧ нин кутӧй висьтавны, пасъям сӧмын некымын результат.

1) Позьӧ кӧ артавны мыгӧрлысь эрдсӧ (йӧрышсӧ) Жордан ногӧн — позьӧ артавны и Лебег ногӧн; артмас ӧткодь лыд.

2) Кутшӧмкӧ мыгӧръяслысь эрдъяссӧ оз позь артавны Жордан ногӧн, но позьӧ артавны Лебег ногӧн. Водзын ми висьтавлім M мыгӧр йылысь (квадрат пытшкӧсса рациональ лыда координатаяса став чут). Вӧлӧмкӧ, Лебег ногӧн арталӧм эрдыс лоас 0.

3) Позьӧ кӧ артавны функциялӧн графикувса юкӧнлысь эрдсӧ Риман ногӧн, сійӧс жӧ позьӧ артавны и Лебег ногӧн; артмас ӧткодь лыд.

4) Кутшӧмсюрӧ функцияяслӧн графикувса юкӧнлысь эрдсӧ оз позь артавны Риман ногӧн, но позьӧ артавны Лебег ногӧн.

Сідзкӧ, Лебеглӧн арталан ногыс бурджык Жорданлӧн да Риманлӧн арталан ногысь: унджыктор позьӧ муртавны.

Нӧшта со мый пасъям.

5) Мед A мыгӧр торйӧдӧма A₁, A₂, A₃, ..., A_n, ... мыгӧръяс вылӧ (помтӧм уна юкӧнъяс вылӧ, найӧс позьӧ нумеруйтны да сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн гижны). Мед быд тайӧ юкӧнлысь  эрдсӧ (йӧрышсӧ) позьӧ артавны Лебег ногӧн. Вӧлӧмкӧ, A-лысь эрдсӧ (йӧрышсӧ) тшӧтш позьӧ артавны  Лебег ногӧн; сійӧ лоас A₁, A₂, A₃, A₄, ..., A_n, ... мыгӧръяслӧн эрд суммаӧн.

Лебег ассьыс теориясӧ лӧсьӧдӧма да лача кутӧма: гашкӧ, быд мыгӧрлысь эрдсӧ (йӧрышсӧ) позяс муртавны? Вӧлӧмкӧ, оз. Та вылӧ видзӧдтӧг, Лебег теория XX‐ӧд нэмся математикъяслы зэв коланаторйӧн лои.

Эрд да йӧрыш мурталӧм – 5

• эрд — площадь
• урчитӧм — определение
• тшӧтшкӧс мыгӧр — плоская фигура
• куим муртӧса телӧ — трёхмерное тело
• йӧрыш — объём
• воанлыд — предел 

 Водзын ми висьталім: XIX‐ӧд нэм шӧрын Риман сетӧма стӧч урчитӧм — мый тайӧ функция графикувса юкӧнлӧн эрд. Сёрӧнджык, XIX‐ӧд нэм помын нин, вӧлі сетӧма стӧч урчитӧм — мый тайӧ тшӧтшкӧс мыгӧрлӧн эрд либӧ куим муртӧса телӧлӧн йӧрыш. Урчитӧмсӧ вӧзйӧмаӧсь италияса математик Джузеппе Пеано 1887-ӧд воын да прансуз математик Мари Энмон Камиль Жордан 1892-ӧд воын.

Медшӧр идеяыс со кутшӧм. Школаын миянӧс велӧдісны, кыдзи ылӧсас артавны мыгӧрлысь эрдсӧ. Юклам тшӧтшкӧссӧ посни квадратъяс вылӧ. Сэсся босьтам мыгӧр пытшкас куйлысь став квадратсӧ да арталам ӧтласа эрдсӧ.

 Позьӧ и мӧд ногӧн вӧчны: босьтны став квадратсӧ, кодлӧн эм кӧть ӧти ӧтувъя чут мыгӧрыскӧд, да налысь ӧтласа эрдсӧ артавны. Вӧлӧмкӧ, мыгӧрлӧн дорыс кӧ абу вывті дзуг, тайӧ кык лыдыс лоасны ӧта-мӧдлы матыссаӧсь.

Сідзкӧ, со кыдзи Жордан ногӧн мыгӧрлысь эрдсӧ урчитны. Юклам тшӧтшкӧссӧ квадратъяс вылӧ. Босьтам мыгӧр пытшкас куйлысь став квадратсӧ да арталам налысь эрд суммасӧ (пасъям сійӧс s₁). Сэсся босьтам став квадрат, кодлӧн эм кӧть ӧти ӧтувъя чут сетӧм мыгӧрыскӧд, да налысь эрд суммасӧ арталам (пасъям сійӧс S₁).

Сэсся посньӧдам квадратъяссӧ налысь доръяссӧ кык пельӧ юклӧмӧн, да сэтшӧм жӧ ногӧн арталам квадратъяслысь эрд суммаяссӧ. Артмасны лыдъяс: s₂ да S₂. Казялам: s₂ ≥ s₁ (квадрат кӧ куйлӧ мыгӧр пытшкас,  сылӧн став юкӧн тшӧтш куйлӧ мыгӧр пытшкас), S₂ ≤ S₁ (квадрат юкӧнлӧн кӧ эм мыгӧрыскӧд кӧть ӧти ӧтувъя чут, дзонь квадратлӧн сійӧ тшӧтш эм).

Посньыдджык квадратъяслысь доръяссӧ бара кык пельӧ юклам да артмӧдам выль суммаяссӧ: s₃ да S₃, да сідз водзӧ.

Гижам сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн лыдъяссӧ: s₁ ≤ s₂ ≤ s₃ ≤ s₄ ≤ ... Вӧлӧмкӧ, налӧн эм воанлыд (пасъям сійӧс s шыпасӧн). Сэсся гижам лыдъяссӧ: S₁ ≥ S₂ ≥ S₃ ≥ S₄ ≥ ... Налӧн, вӧлӧм, тшӧтш эм воанлыд (пасъям сійӧс S шыпасӧн). Жордан серти, мыгӧрлӧн эм эрд, s да S лыдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.

Тадзи жӧ урчитӧны куим муртӧса телӧлысь йӧрышсӧ (квадратъяс пыдди кубъяс босьтӧмӧн).

Вӧлӧмкӧ, мыгӧрлӧн дорыс (телӧлӧн веркӧсыс) кӧ тэчӧма некымын шыльыд юкӧнъясысь, сылӧн эрдыс (йӧрышыс) эм. Шуам, кытшлӧн, кытш секторлӧн, кытш сегментлӧн, эллипс пытшкӧслӧн, парабола сегментлӧн эм эрд, а шарлӧн, цилиндрлӧн, конуслӧн, тшӧтшӧдӧм конуслӧн эм йӧрыш.

Ми аддзам: функциялӧн графикувса юкӧнлысь эрдсӧ позьӧ кык ногӧн артавны — Риманлӧн урчитӧм серти да Жорданлӧн урчитӧм серти. Вӧлӧмкӧ, кыкнан методыс сетас ӧти сійӧ жӧ лыд.