Эрд да йӧрыш мурталӧм – 4

• эрд — площадь
• йӧрыш — объём
• воанлыд — предел
• тшӧтшкӧс — плоскость
• мыгӧр — фигура
• вундӧг — отрезок

XVIII‐ӧд нэмын зэв бура кужлӧмаӧсь Ньютон–Лейбниц формулаӧн вӧдитчыны, воанлыдъяс артавны и. Уна мича формула вӧлі артмӧдӧма сійӧ кадас. Сӧмын сэки эз на вӧв стӧча урчитӧма мый сэтшӧмыс воанлыд. Кутшӧмсюрӧ сьӧкыдторъясысь сэки видзчысьӧмаӧсь на. Шуам, ӧти математик шулӧма: помтӧм сумма арталӧмын кӧ воанлыдыс абу — тайӧ пӧ антуссянь суммаыс (мистицизмсьыс сэки абу жӧ на мынтӧдчӧмаӧсь).

XIX‐ӧд нэмӧ прансуз математик Огюстен Луи Коши пондас студентъясӧс велӧдны дай мӧвпавны кутас: кыдзи налы стӧчджыка гӧгӧрвоӧдны, эм-абу воанлыд да мыйла. Бӧръяпомыс сійӧ лӧсьӧдӧма воанлыдъяс йылысь теория.

Водзын ми висьталім функция графикувса эрд йылысь. 1854-ӧд воын Георг Фридрих Бернхард Риман, немеч математик, сетӧма стӧч урчитӧм — кыдзи тайӧ эрдсӧ муртавны. Сёрӧнджык, 1879-ӧд воын, прансуз математик Жан Гастон Дарбу сӧвмӧдӧма Риманлысь теориясӧ. 

Шӧр мӧвпыс со кутшӧм. Сетӧма f(t) функция, a ≤ t ≤ b. 

Юклам вундӧгсӧ a = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n−1 < t_n = b чутъясӧн да бӧръям кутшӧмкӧ s₁, s₂, ..., s_n чутъяс сідзи, медым t₀ ≤ s₁ ≤ t₁, t₁ ≤ s₂ ≤ t₂ да с.в. 

Сы бӧрын со кутшӧм сумма лӧсьӧдам: 

(t₁ − t₀)f(s₁) + (t₂ − t₁)f(s₂) + ... + (t_n − t_n−1)f(s_n). 

Тайӧ лоас эрдсӧ ылӧсас арталӧм. Сэсся кутам посньӧдны юклан вундӧгъяссӧ, медым налӧн кузьтаясыс вӧліны 0 дорӧ матынджык и матынджык. Артмӧдӧм суммаясыслӧн кӧ эм воанлыд — сійӧ и лоас графикувса эрдӧн.

XIX‐ӧд нэмын Ньютон–Лейбниц теория вӧлі подулалӧма.