Мандельбротлӧн чут чукӧр

•  чут чукӧр — множество точек

Воддза гижӧдын ми висьталім Жюлиалӧн чут чукӧръяс йылысь. Пырджык найӧ артмӧдӧны зэв дзуг да аслыспӧлӧс серпасъяс — сідз шусяна фракталъяс; босьтан кӧ налысь ичӧт юкӧнъяс да видзӧдан кӧ на вылӧ ёна ыдждӧдана лупа пыр, бара аддзан зэв дзуг серпас; юкӧнъяссӧ позьӧ помтӧма ичӧтмӧдны, но серпасыс пыр коляс дзуг.

Мандельбротлӧн чут чукӧр — нӧшта ӧти нималана фрактал. Жюлиалӧн чут чукӧр йылысь висьталігӧн ми гижим сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн комплекс лыдъяс (налы лӧсялӧны тшӧтшкӧсвывса чутъяс): z₀, z₁, z₂, z₃, ..., z_n, z_n+1, ..., кӧні z₁ = z₀² + c, z₂ = z₁² + c, z₃ = z₂² + c, z₄ = z₃² + c да с. в.; тані c — тшӧтш комплекс лыд. Босьтам z₀ = 0. Став z_n лыд кӧ тӧрӧ кутшӧмкӧ кытшӧ, шуам: c лыдыс куйлӧ Мандельбротлӧн чукӧрын.

Вӧлӧмкӧ, Мандельбротлӧн чут чукӧрыс со кутшӧм (серпас вылас сійӧс пасйӧма сьӧд рӧмӧн):

Медводз тайӧ чут чукӧрсӧ пондӧма туявны Пьер Фату XX-ӧд нэм заводитчигӧн. Сійӧ казялӧма: z_n лыдъяслӧн динамикаыс зэв аслыспӧлӧс, вермас тӧдчымӧн вежсьыны, c лыдсӧ кӧ неуна вӧрзьӧдан. Сэки компьютеръяс эз на вӧвны да, Фатулы ковмис ставсӧ ки помысь артавны.

1970-ӧд воясӧ Бенуа Мандельброт пондӧма туявны z_n лыдъяслысь динамикасӧ компьютер отсӧгӧн; сійӧ жӧ и лӧсьӧдӧма "фрактал" термин. 1978-ӧд воын Брукс да Мательски медводдзаысь серпасалӧмаӧсь Мандельбротлысь чут чукӧрсӧ (дерт, ылӧсас):

Ачыс Мандельброт тайӧ чут чукӧрлысь визуализациясӧ аддзӧма 1980-ӧд воын Томас Уотсон нима IBM-лӧн туялана шӧринын. 

Ӧнія компьютеръяс зэв нин бура арталӧны да, позьӧ аддзыны Мандельброт чукӧрлысь зэв посни детальяс.

(водзӧ лоӧ на...)

Жюлиалӧн чут чукӧръяс

•  чут чукӧр — множество точек
• ина лыд — вещественное число
• интӧм ӧтик — мнимая единица
• тшӧтшкӧс — плоскость
• куимпельӧса ӧткодьтӧмлун — неравенство треугольника
  
• вежтас — граница 
  

Ӧнтай ми висьтавлім комплекс лыдъяс йылысь: тайӧ a + bi лыдъяс, кӧні a да b — ина лыдъяс, i = √(−1) — интӧм ӧтик; a + bi лыдлы лӧсялӧ тшӧтшкӧсвывса (a, b) координатаяса чут.

Ӧні висьталам, кыдзи артмӧны тшӧтшкӧс вылас зэв мича да дзуг серпасъяс — Жюлиалӧн чут чукӧръяс (став серпасыс босьтӧма ӧтуввезйысь).

Мед c да z — кутшӧмкӧ комплекс лыдъяс. Пондам артмӧдны сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн z_n лыдъяс: z₀ = z, z₁ = z₀² + c, z₂ = z₁² + c, z₃ = z₂² + c, z₄ = z₃² + c да с. в.

Ӧтластитам z_n да z_n+1 лыдъяслысь модульяссӧ (казьтыштам: a + bi лыдлӧн модуль — тайӧ (a, b) радиус-векторлӧн кузьта). Мед |z_n| = r. Воддза гижӧд серти, |z_n²| = |z_n|² = r². Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: |z_n+1| = |z_n² + c| ≥ |z_n²| − |c| = r² − |c|. 

Казялам: r лыд кӧ зэв ыджыд (кутшӧмкӧ R лыдысь ыджыдджык), r² − |c| ≥ 2r. Сідзкӧ, |z_n+1| ≥ 2|z_n| ≥ 2R. Но сэки миян артмӧ: |z_n+2| ≥ 2|z_n+1| ≥ 4|z_n|, |z_n+3| ≥ 2|z_n+2| ≥ 8|z_n| да с. в.; k лыд помтӧг содігас |z_n+k| тшӧтш кутас помтӧг быдмыны.

Сідзкӧ, вермӧ лоны кык вариант:

1) либӧ став z_n лыд чукӧр куйлӧ R радиуса кытшын,

2) либӧ кутшӧмкӧ здуксянь |z_n| заводитӧны помтӧг быдмыны.

Видлалам медводдза случайлы лӧсялысь став z лыдсӧ: кор z, z² + c, (z² + c)² + c да с. в. куйлӧны R радиуса кытшын. Тшӧтшкӧс вылын артмӧ кутшӧмкӧ мыгӧр. Сылӧн вежтасыс и шусьӧ Жюлиалӧн чут чукӧрӧн. (Гастон Жюлиа — прансуз математик, 1893−1978.)

Видлӧг. Мед c = 0. Сэки z₀ = z, z₁ = z², z₂ = z⁴, z₃ = z⁸, z₄ = z¹⁶ да с. в. Сідзкӧ, кор |z| > 1, |z_n| помтӧг быдмӧны; кор |z| ≤ 1, став z_n куйлӧны 1 радиуса кытшын. Тайӧ кытшыслӧн вежтас — 1 радиуса кытшвизь. Миян артмис: кор c = 0, Жюлиалӧн чут чукӧрӧн лоас 1 радиуса кытшвизь.

Босьтам кӧ кутшӧмкӧ мӧд c лыдсӧ, Жюлиалӧн чут чукӧр вермӧ лоны зэв аслыспӧлӧсӧн да дзугӧн. Серпас вылас петкӧдлӧма ӧти пример: c = 0,28+0,0113i; z лыд кӧ куйлӧ югыдлӧз юкӧнын, |z_n| помтӧг быдмӧны; z лыд кӧ куйлӧ гӧрд юкӧнын, став z_n куйлӧ кутшӧмкӧ кытшын; гӧрд мыгӧрлӧн вежтасыс — Жюлиалӧн чут чукӧр.

Вӧлӧмкӧ, видзӧдлам кӧ вежтасыслӧн ичӧт юкӧн вылас лупа пыр, бара аддзам сэтысь дзуг структура. Позьӧ водзӧ ичӧтмӧдны тайӧ юкӧнъяссӧ да босьтны ёнджык лупаяс — дзуг структурасӧ пыр аддзам. Татшӧм аслыссикас мыгӧръяс шусьӧны фракталъясӧн.

Петкӧдлам нӧшта некымын пример.

1) c = i. Артмӧ чардби сяма мыгӧр.

 

2) c = −0.765 + 0.12i.

3) c = − 1.75488...

 

 

4) c = −0.70176 − 0.3842i.

 

А со — серпасъясысь таблича. 

 

Комплекс лыдъяс − 2

• тшӧтшкӧс — плоскость
• ина лыд — вещественное число
• интӧм ӧтик — мнимая единица 
• лыдмӧдны — умножить
  
• лыдмӧдас — произведение
  

Геометрия боксянь гӧгӧрвоӧдӧм. Тшӧтшкӧс вылын бӧръям координата система. Мед a + bi — комплекс лыд (a да b — ина лыдъяс, i = √(−1) — интӧм ӧтик). Пуктам тшӧтшкӧс вылас a абсциссаа да b ординатаа чут. Сідзкӧ, быд комплекс лыдлы лӧсялӧ тшӧтшкӧсвывса чут (либӧ радиус-вектор).

Казьтыштам: a + bi да c + di лыдъяслӧн суммаыс лоӧ  

a + c + (b + d)i. 

Тшӧтшкӧсвывса чутъясыслӧн со кутшӧм координатаяс: (a, b) да (c, d); суммаыслӧн (a + c, b + d). Сідзкӧ, артмӧ радиус-векторъясыслӧн сумма.

Сетӧма кӧ (a, b) координатаяса радиус-вектор, позьӧ муртавны сылысь кузьтасӧ да тӧдмавны, кутшӧм пельӧс сійӧ артмӧдӧ абсцисса чӧрскӧд (0°-сянь 360°-ӧдз, либӧ 0-сянь 2π-ӧдз). Кузьтаыс шусьӧ a + bi лыдлӧн модульӧн, а пельӧсыс шусьӧ сылӧн аргументӧн.

Пифагор теоремаысь тыдовтчӧ: модульлӧн квадрат лоӧ a² + b².

Видлӧг. 1 + i лыдлы лӧсялӧ (1, 1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 45° (либӧ π/4) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ √2 (кыкысь квадрат вуж). Сідзкӧ, аргумент лоӧ π/4, модуль лоӧ √2.

Видлӧг. −i лыдлы лӧсялӧ (0, −1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 270° (либӧ 3π/2) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ 1. Сідзкӧ, аргумент лоӧ 3π/2, модуль лоӧ 1.

 

Мед a + bi лыдлӧн модуль лоӧ r, а аргумент лоӧ φ. Сэки 

a = r⋅cos φ, b = r⋅sin φ.

Мый артмӧ, лыдмӧдам кӧ комплекс кык лыд? Казьтыштам: 

(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i.

Сідзкӧ, медводдза лыдыс кӧ r модуля да φ аргумента, а мӧд лыдыс кӧ ρ модуля да ψ аргумента, налӧн лыдмӧдасыс лоӧ

rρ(cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ) + rρ(cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ)i.

Уськӧдам тӧд вылӧ тригонометрияысь формулаяс:

 cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ = cos (φ + ψ),

 cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ = sin (φ + ψ).

Та вӧсна лыдмӧдасыс лоӧ

 rρ⋅cos (φ + ψ) + rρ⋅sin (φ + ψ)⋅i.

Сылӧн модульыс лоӧ rρ, а аргументыс лоӧ φ + ψ.

Сідзкӧ, медым лыдмӧдны комплекс кык лыд, колӧ лыдмӧдны налысь модульяссӧ да содтыны налысь аргументъяссӧ.