Комплекс лыдъяс − 2

• тшӧтшкӧс — плоскость
• ина лыд — вещественное число
• интӧм ӧтик — мнимая единица 
• лыдмӧдны — умножить
  
• лыдмӧдас — произведение
  

Геометрия боксянь гӧгӧрвоӧдӧм. Тшӧтшкӧс вылын бӧръям координата система. Мед a + bi — комплекс лыд (a да b — ина лыдъяс, i = √(−1) — интӧм ӧтик). Пуктам тшӧтшкӧс вылас a абсциссаа да b ординатаа чут. Сідзкӧ, быд комплекс лыдлы лӧсялӧ тшӧтшкӧсвывса чут (либӧ радиус-вектор).

Казьтыштам: a + bi да c + di лыдъяслӧн суммаыс лоӧ  

a + c + (b + d)i. 

Тшӧтшкӧсвывса чутъясыслӧн со кутшӧм координатаяс: (a, b) да (c, d); суммаыслӧн (a + c, b + d). Сідзкӧ, артмӧ радиус-векторъясыслӧн сумма.

Сетӧма кӧ (a, b) координатаяса радиус-вектор, позьӧ муртавны сылысь кузьтасӧ да тӧдмавны, кутшӧм пельӧс сійӧ артмӧдӧ абсцисса чӧрскӧд (0°-сянь 360°-ӧдз, либӧ 0-сянь 2π-ӧдз). Кузьтаыс шусьӧ a + bi лыдлӧн модульӧн, а пельӧсыс шусьӧ сылӧн аргументӧн.

Пифагор теоремаысь тыдовтчӧ: модульлӧн квадрат лоӧ a² + b².

Видлӧг. 1 + i лыдлы лӧсялӧ (1, 1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 45° (либӧ π/4) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ √2 (кыкысь квадрат вуж). Сідзкӧ, аргумент лоӧ π/4, модуль лоӧ √2.

Видлӧг. −i лыдлы лӧсялӧ (0, −1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 270° (либӧ 3π/2) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ 1. Сідзкӧ, аргумент лоӧ 3π/2, модуль лоӧ 1.

 

Мед a + bi лыдлӧн модуль лоӧ r, а аргумент лоӧ φ. Сэки 

a = r⋅cos φ, b = r⋅sin φ.

Мый артмӧ, лыдмӧдам кӧ комплекс кык лыд? Казьтыштам: 

(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i.

Сідзкӧ, медводдза лыдыс кӧ r модуля да φ аргумента, а мӧд лыдыс кӧ ρ модуля да ψ аргумента, налӧн лыдмӧдасыс лоӧ

rρ(cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ) + rρ(cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ)i.

Уськӧдам тӧд вылӧ тригонометрияысь формулаяс:

 cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ = cos (φ + ψ),

 cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ = sin (φ + ψ).

Та вӧсна лыдмӧдасыс лоӧ

 rρ⋅cos (φ + ψ) + rρ⋅sin (φ + ψ)⋅i.

Сылӧн модульыс лоӧ rρ, а аргументыс лоӧ φ + ψ.

Сідзкӧ, медым лыдмӧдны комплекс кык лыд, колӧ лыдмӧдны налысь модульяссӧ да содтыны налысь аргументъяссӧ.