Евклидлӧн нёль муртӧса ылдӧс

• нёль муртӧса — четырёхмерный
• ылдӧс — пространство
• тшӧтшкӧс — плоскость
• нырвизя вундӧг — направленный отрезок
• лыдмӧдны — умножить
• квадрат вуж — квадратный корень
  

Ми ставным вермам син водзӧ вайӧдны ӧти, кык да куим муртӧса ылдӧсъяс (веськыд визь, тшӧтшкӧс да миянӧс гӧгӧртана ылдӧс). Вӧлӧмкӧ, математикъяс уджалӧны и унджык муртӧса ылдӧсъясӧн. Мыйла тайӧ колӧ — висьтала коркӧ мӧдысь, а ӧні сёрнитыштам Евклидлӧн нёль муртӧса ылдӧс йылысь.

Медводз тӧд вылӧ уськӧдам, мый сэтшӧмыс радиус-вектор тшӧтшкӧсын да куим муртӧса ылдӧсын (водзӧ кутам гижны дженьыда: векторъяс).

Кык муртӧса векторъяс. Кыдзи ми тӧдам школасянь, тшӧтшкӧс вылӧ позьӧ лӧсьӧдны координатаяс система. Радиус-вектор — тайӧ нырвизя вундӧг, сылӧн воддза помыс — (0, 0) чут.

Тӧдам кӧ векторлысь кузьтасӧ да нырвизьсӧ, сідзкӧ тӧдам и мӧд помыслысь координатаяссӧ. Мӧдарӧ, тӧдам кӧ мӧд помыслысь координатаяссӧ, сідзкӧ тӧдам кузьтасӧ да нырвизьсӧ.

Та вӧсна ми вермам векторъяс вылӧ кык ногӧн видзӧдны: нырвизя вундӧгъяс вылӧ моз да координата гоз вылӧ моз.

Ми вермам содтавны да чинтавны векторъяс, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылас:

1) сумма: 

2) чинтас:

Координатаясӧн тайӧ со кыдзи гижсьӧ:

(a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂),

(a₁, a₂) − (b₁, b₂) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂).

Вермам векторсӧ кутшӧмкӧ ыдждакӧд лыдмӧдны (пасъям тайӧ ыдждасӧ λ шыпасӧн). Та могысь ми лыдмӧдам векторлысь кузьтасӧ λ пӧв; нырвизьсӧ бӧръям воддза векторлы моз, λ кӧ плюса, да воддза векторлы паныд, λ кӧ минуса. Серпас вылас петкӧдлӧма, мый артмас, кор λ = 2 да кор λ = −0.5.

Координатаясӧн тайӧ гижсьӧ со кыдзи:

λ(a₁, a₂) = (λa₁, λa₂).

Нӧшта кык вектор позьӧ скаляр ногӧн лыдмӧдны. Та  могысь ми лыдмӧдам куим ыджда: кыкнан векторлысь кузьтаяссӧ да на костса пельӧслысь косинус. Шуам, векторъяс кӧ куйлӧны перпендикуляр ногӧн, скаляр нога лыдмӧдӧм бӧрын артмас 0 (90°-лӧн косинус лоӧ 0 да).

Вӧлӧмкӧ, скаляр ногӧн лыдмӧдӧм координатаясӧн гижсьӧ тадзи:

 ⟨(a₁, a₂), (b₁, b₂)⟩ = a₁b₁ + a₂b₂

(тайӧ ӧткодьлуныс петӧ косинусъяс йылысь теоремаысь; коді сійӧс эз вунӧд, вермас артыштны).

А кыдзи артавны векторлысь кузьтасӧ? Пифагорлӧн теоремаысь петӧ: (a₁, a₂) векторлӧн кузьта лоӧ a₁² + a₂² лыдысь квадрат вуж.

Куим муртӧса векторъяс. Геометрия боксянь ставыс гижсьӧ стӧч кык муртӧса векторъяслы моз, сӧмын куим муртӧса ылдӧсын быд чутлӧн эм куим координата. Сідзкӧ координатаясӧн ставыс со кыдзи гижсьӧ:

1) вектор — тайӧ ылдӧсса чутлӧн координатаясысь куима: (a₁, a₂, a₃);

2) векторъяслӧн сумма да чинтас гижсьӧ тадзи:

(a₁, a₂, a₃) + (b₁, b₂, b₃) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃),

(a₁, a₂, a₃) − (b₁, b₂, b₃) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃);

3) λ пӧв лыдмӧдӧм: λ(a₁, a₂, a₃) = (λa₁, λa₂, λa₃);

4) скаляр ногӧн лыдмӧдӧм:

 ⟨(a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃)⟩ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

5) (a₁, a₂, a₃) векторлӧн кузьтаыс лоӧ a₁² + a₂² + a₃² лыдысь квадрат вуж.

Нёль муртӧса ылдӧс да нёль муртӧса векторъяс. Син водзӧ вайӧдны нёль муртӧса ылдӧс ми огӧ нин кужӧй. А сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн гижӧм нёль лыд вермам гӧгӧрвоны. Сідзкӧ аналогия серти ми шуам:

1) Нёль муртӧса вектор — тайӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн гижӧм нёль лыд: (a₁, a₂, a₃, a₄). Тайӧ вектор чукӧрыс артмӧдӧ нёль муртӧса ылдӧс.

2) векторъяслӧн сумма да чинтас гижсьӧ тадзи:

(a₁, a₂, a₃, a₄) + (b₁, b₂, b₃, b₄) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, a₄ + b₄),

 (a₁, a₂, a₃, a₄) − (b₁, b₂, b₃, b₄) = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃, a₄ − b₄);

3) λ пӧв лыдмӧдӧм: λ(a₁, a₂, a₃, a₄) = (λa₁, λa₂, λa₃, λa₄);

4) скаляр ногӧн лыдмӧдӧм:

 ⟨(a₁, a₂, a₃, a₄), (b₁, b₂, b₃, b₄)⟩ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ +a₄b₄.

5) (a₁, a₂, a₃, a₄) векторлӧн кузьтаыс лоӧ a₁² + a₂² + a₃² + a₄² лыдысь квадрат вуж.

Бара жӧ, аналогия серти, ми вермам муртавны кык вектор костысь пельӧс: та могысь ми лыдмӧдам тайӧ векторъяссӧ скаляр ногӧн да юкам артмӧм ыдждасӧ кыкнан векторлӧн кузьта вылӧ (кык да куим муртӧса ылдӧсын вӧлі татшӧм формула да). Артмӧм лыдсӧ шуам пельӧсыслӧн косинусӧн. Скаляр лыдмӧдӧм бӧрын кӧ артмас 0 — сідзкӧ шуам векторъяссӧ перпендикуляр ногӧн куйлысьясӧн. А мый лоас, пельӧсыслӧн косинус кӧ лоӧ 1? Кык да куим муртӧса ылдӧсын ми вермам пельӧссӧ гӧгӧрвоны геометрия боксянь; косинус кӧ лоӧ 1 — сідзкӧ пельӧсыс лоӧ 0 да векторъяс ӧтнырвизяӧсь. Вӧлӧмкӧ, и нёль муртӧса ылдӧсын тадзи жӧ: координатаясӧн арталӧм косинус кӧ лоӧ 1 — сідзкӧ векторъяслӧн координатаясыс пропорцияынӧсь да векторъясыс ӧтнырвизяӧсь. Сӧмын подулавсьӧ тайӧ алгебра ногӧн нин.

Дракон кодь чукля − 3

• чегласьӧм визь — ломаная
• матыстчана чегласьӧмъяс — приближающие ломаные
• бур пельӧс — прямой угол
  

Матыстчана чегласьӧмъяс.

Кыдзи вӧлі гижӧма нин, дракон кодь чуклясӧ артмӧдӧны со кыдзи. Вундӧг вежлалӧмӧн сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн лӧсьӧдӧны чегласьӧм визьяс. Бӧръяпомыс найӧ воӧны дракон кодь чукляӧ. Тайӧс позьӧ со кыдзи гӧгӧрвоны: уна пӧв вежлалӧм бӧрын чегласьӧм визьяссӧ ыдждӧдан стеклӧтӧг сьӧкыд торйӧдны ӧта-мӧдсьыныс да дракон кодь чукляысь.

Артмӧдӧм чегласьӧм визьясыс шусьӧны матыстчана чегласьӧмъясӧн.

Бумага лента кусыньтӧм да матыстчана чегласьӧмъяс.

Босьтам кузь кабала лента да кусыньтам сійӧс шӧри. Пуктам сійӧс пызан вылӧ. Кусыньсӧ лэптӧмӧн нӧшта ӧтчыд кусыньтам лентасӧ. Выль кусыньсӧ лэптам да бара кусыньтам лентасӧ, с. в. 

Некымынысь тадзи вӧчам, сэсся паськӧдам кусыньтӧм лентасӧ, медым быд кусыньыс лои бур пельӧсӧн. Вӧлӧмкӧ, лентаысь артмас матыстчана чегласьӧм: n пӧв кӧ кусыньтам — лоас n‐ӧд чегласьӧм.

 

Дракон кодь чукля − 2

• тшӧтшкӧс — плоскость
  

Вӧлӧмкӧ, дракон кодь чукляясӧн позьӧ вевттьыны тшӧтшкӧссӧ. Вӧчсьӧ сійӧ со кыдзи.

Юкам тшӧтшкӧссӧ ӧткодь квадратъяс вылӧ да мавтам найӧс сьӧд да еджыд рӧмӧн, шахмат пӧв моз. Квадрат доръяссӧ мавтам нёль рӧмӧн (гӧрд, турунвиж, виж, лӧз), кыдзи петкӧдлӧма серпас вылас.

Сэсся кутам вежлавны квадратъяслысь доръяссӧ дракон кодь чукляяс артмӧдігӧн. Колӧ сӧмын индыны, кодарӧ серпасавны воддза пельӧсторъяссӧ. Вочсьӧ тайӧ тадзи: вертикаль вундӧгъяс пӧрӧны сьӧд квадратъясын куйлысь пельӧсторъясӧ, а горизонталь вундӧгъяс — еджыд квадратъясын куйлысь пельӧсторъясӧ.

Шуам, 8-ӧд вежлалӧм бӧрын квадрат йыв гӧгӧр лоасны со кутшӧм чегласьӧм визьяс (тані квадратъясыс абу нин мавтӧмаӧсь):

Бӧръяпомыс артмас тшӧтшкӧссӧ дракон кодь чукляясӧн вевттьӧм (тані 45° вылӧ бергӧдӧм серпас):

Дракон кодь чукля − 1

• вундӧг — отрезок
• вежлалӧм — преобразование
• бур пельӧс — прямой угол
  
• ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧг — равнобедренный прямоугольный треугольник 
• визьньӧв — луч
  

Водзын ме висьталі, кыдзи вундӧгсӧ помтӧм унаысь вежлалігӧн лӧсьӧдны  Кохлысь чуклясӧ. Мӧд ногӧн кӧ кутам вундӧгъяссӧ вежлавны, артмасны мӧд серъяс. На пӧвстын эм дракон кодь чукля. Сійӧс лӧсьӧдӧма Мартин Гарднер 1967 воын.

Вундӧг вежлалӧм. Босьтам вундӧг да сы вылын лӧсьӧдам ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧг (воддза вундӧгыс лоас гипотенузаӧн); сэсся шыбитам гипотенузасӧ. Артмас бур пельӧстор.

Дракон кодь чуклясӧ лӧсьӧдӧм. Босьтам AB вундӧг да вежам сійӧс бур пельӧсторйӧн, кыдзи вӧлі гижӧма водзынджык. 

Серпас вывсьыс аддзам: AB визьньӧвсӧ кӧ бергӧдны 45° вылӧ часі стрелкалы паныд, артмас AC визьньӧв.

Ӧні вежлалам AC да CB вундӧгъяссӧ бур пельӧсторъясӧн. Артмас 4 юкӧда чегласьӧм визь: ADCEB. Колӧ сӧмын тӧдны, кодарӧ серпасавны тайӧ пельӧсторъяссӧ. Ми вӧчам сідзи, медым 1) AD визьньӧв артмис AC‐ысь 45° вылӧ часі стрелкалы паныд бергӧдӧмӧн, 2) орчча юкӧдъясыс куйлісны перпендикуляр ногӧн. Со кутшӧм тайӧ чегласьӧм визьыс:

Тайӧ визьыслысь быд юкӧдсӧ бара вежлалам. Вӧчам сідзи, медым 1) A пома юкӧдыс "бергӧдчис" 45° вылӧ часі стрелкалы паныд, 2) орчча юкӧдъяс куйлісны перпендикуляр ногӧн. Артмас 8 юкӧда чегласьӧм визь:

Сылысь юкӧдъяссӧ бара вежлалам, воддза индӧдъяс серти, да с. в.

4‐ӧд вежлалӧм бӧрын:

5-ӧд вежлалӧм бӧрын:

8‐ӧд вежлалӧм бӧрын:

10‐ӧд вежлалӧм бӧрын:

Бӧръяпомыс (помтӧм уна пӧв вежлалӧмӧн) лӧсьӧдӧм чегласьӧм визьясыс воасны со кутшӧм мыгӧрӧ:

Тайӧ шусьӧ дракон кодь чукляӧн.

Серпинскӧйлӧн серъяс

• куимсэрӧг — треугольник
• ӧткодь — равный
  
• мыгӧр — фигура
• чут чукӧр — множество точек
• ӧтсяма — подобный
  
• ӧткодь доръяса куимсэрӧг — равносторонний треугольник 

Босьтам квадрат да юкам сійӧс ӧкмыс пельӧ, ӧткодь квадратъяс вылӧ. Шӧр квадратсӧ шыбитам. Артмас со кутшӧм мыгӧр:

Кольӧм быд квадратсӧ бара юкам ӧтмоза ӧкмыс пельӧ да шыбитам шӧр квадратъяссӧ. Ӧні кольӧм юкӧныс со кутшӧм:

Сэсся бара юкам кольӧм квадратъяссӧ ӧкмыс пельӧ, шыбитам шӧр квадратъяссӧ, да с. в.

Бӧръяпомыс, помтӧм унаысь квадратъяссӧ шыблаліг, артмас со кутшӧм чут чукӧр:

Сійӧ шусьӧ Серпинскӧйлӧн джодждӧраӧн. Тайӧ мыгӧрсӧ лӧсьӧдӧма Вацлав Серпинскӧй 1916-ӧд воын.

Серпинскӧйлысь джодждӧрасӧ кӧ юкам медводдза квадратсӧ моз, артмас кӧкъямыс ӧткодь мыгӧр. На пиысь кутшӧмкӧ юкӧнсӧ кӧ ыдждӧдны куимысь, лоас дзонь джодждӧракӧд ӧткодь мыгӧр. Сідзкӧ быд юкӧныс ӧтсяма дзонь джодждӧралы.

Неуна водзджык, 1915-ӧд воын, Серпинскӧй лӧсьӧдӧма куимсэрӧгысь татшӧм жӧ сяма чут чукӧр.

Босьтам ӧткодь доръяса куимсэрӧг да юкам сійӧс нёль пельӧ, ӧткодь куимсэрӧгъяс вылӧ. Шӧр куимсэрӧгсӧ шыбитам. Артмас со кутшӧм мыгӧр:

Кольӧм куимсэрӧгъяссӧ бара юкам нёль пельӧ да шыбитам шӧр куимсэрӧгсӧ:

Сэсся бара сійӧс жӧ вӧчам кольӧм куимсэрӧгъясӧн, да с.в.

Бӧръяпомыс коляс татшӧм чут чукӧр:

Сійӧс шуӧны Серпинскӧйлӧн куимсэрӧгӧн либӧ Серпинскӧйлӧн салфеткаӧн. 

Серпинскӧйлысь салфеткасӧ кӧ юкам медводдза куимсэрӧгсӧ моз, артмас куим ӧткодь мыгӧр. Быд юкӧныс ӧтсяма дзонь салфеткалы.

 

Кохлӧн лым чир − 2

• аслун — свойство
• вундӧг — отрезок
• чегласян чут — точка излома
• эрд — площадь
• тшӧтшкӧс — площадь
  

Ӧні пасйыштам кутшӧмсюрӧ аслунъяссӧ Кохлӧн чуклялысь да Кохлӧн лым чирлысь.

1) Кохлӧн чукля помтӧм кузьтаа. Медым тайӧс гӧгӧрвоны, уськӧдам тӧд вылӧ, кыдзи вӧлі артмӧдӧма тайӧ чуклясӧ. Медводз казялам: вундӧг вежлалӧм бӧрын артмӧм чегласьӧм визьлӧн кузьтаыс 4/3 пӧв ыджыдджык вундӧгыслӧн кузьтасьыс. Сідзкӧ, Кохлӧн чукля дорӧ матыстчысь чегласьӧм визьясыслӧн кузьтаяс ыдждӧны геометрия прогрессия моз: p, (4/3)p, (4/3)²p, (4/3)³p, ..., кӧні p — медводдза куимсэрӧглӧн периметр. Сідзкӧ найӧ помтӧма ыдждӧны. Нӧшта казялам: тайӧ визьясыслӧн чегласян чутъясыс куйлӧны Кохлӧн чукля визь вылас. Та вӧсна Кохлӧн визь кузьджык быд матыстчан чегласьӧм визьсьыс — а сідзкӧ сійӧ помтӧм кузьтаа. (Кыдзи муртавны чукля визьлысь кузьтасӧ, гижӧма тані.)

2) Кохлӧн лым чирлӧн эрдыс 8/5 пӧв ыджыдджык воддза куимсэрӧглӧн эрдсьыс. Арталам. Шуам, медводдза куимсэрӧглыслӧн эрдыс лоӧ S. Медым тӧдмавны квайт йыла кодзувлысь эрдсӧ, колӧ S дорӧ содтыны ичӧт куимсэрӧгъяслысь эрдъяссӧ.

Быд тайӧ куимсэрӧгыслӧн дорыс медводдза куимсэрӧглӧн дорсьыс 3 пӧв дженьыдджык; сідзкӧ эрдыс лоӧ S/9. Содтӧма 3 куимсэрӧг да, кодзулыслӧн эрдыс лоӧ

S + 3(S/9).

Ӧні тӧдмалам мӧд вежлалӧм бӧрын артмӧм мыгӧрлысь эрдсӧ. Колӧ квайт йыла кодзувлӧн эрд дорӧ содтыны медічӧт куимсэрӧгъяслысь эрдсӧ.

Медводдза куимсэрӧгыслӧн 3 дор; медводдза вежлалӧм бӧрын наысь артмӧны 4 юкӧда чегласьӧм визьяс. Мӧд вежлалӧм бӧрын быд тайӧ юкӧд бердӧ содтыссьӧ куимсэрӧг — ставыс артмӧ 3⋅4 ичӧтик куимсэрӧг. Быд тайӧ куимсэрӧгыслӧн эрд лоӧ S/9². Сідзкӧ мыгӧрыслӧн эрдыс лоӧ 

 S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²).

Коймӧд вежлалӧм бӧрын содтыссьӧ 3⋅4² куимсэрӧг; быд тайӧ куимсэрӧгыслӧн эрд лоӧ S/9³. Сідзкӧ артмӧм мыгӧрлӧн эрдыс лоӧ  

S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²) + 3⋅4²(S/9³).

Нёльӧд вежлалӧм бӧрын артмӧм мыгӧрлӧн эрдыс лоӧ 

 S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²) + 3⋅4²(S/9³) + 3⋅4³(S/9⁴), 

да с. в. Сідзкӧ Кохлӧн лым чирлӧн эрдыс лоӧ со кутшӧм помтӧм сумма:

 S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²) + 3⋅4²(S/9³) + 3⋅4³(S/9⁴) +  

+ 3⋅4⁴(S/9⁵) + 3⋅4⁵(S/9⁶) + ...

Геометрия прогрессиясӧ суммируйтӧм бӧрын лоас  

S + 3S/5 = 8S/5.

3) Кохлӧн лым чиръясӧн позьӧ вевттьыны тшӧтшкӧссӧ, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.

Кохлӧн лым чир − 1

• мыгӧр — фигура
• вежтас — граница 
  
• вундӧг — отрезок
• ӧткодь доръяса куимсэрӧг — равносторонний треугольник
• чегласьӧм визь — ломаная

Тайӧ мыгӧрсӧ (стӧчджыка кӧ, сылысь вежтассӧ) лӧсьӧдӧма 1904-ӧд воын Хельге фон Кох (швед математик).

Вундӧг вежлалӧм. Босьтам вундӧг да ӧткузя юклам сійӧс куим пельӧ. Шӧрса вундӧг вылас лӧсьӧдам ӧткодь доръяса куимсэрӧг, сэсся сылысь подувсӧ шыбитам. Артмас со кутшӧм чегласьӧм визь:

Лым чирсӧ лӧсьӧдӧм. Босьтам кутшӧмкӧ ӧткодь доръяса куимсэрӧг.

Сылысь быд дор вежам чегласьӧм визьӧн, кыдзи вӧлі гижӧма водзын. Вӧчам сідзи, медым ичӧт куимсэрӧгъяс вӧліны ыджыд куимсэрӧг ортсыас:

Артмис квайт йыла кодзув.

Тайӧ кодзулыслысь быд дорсӧ бара вежлалам чегласьӧм визьнас. Вӧчам сідзи, медым ичӧт куимсэрӧгъясыс вӧліны кодзув ортсыас.

Артмӧм мыгӧрлысь доръяссӧ бара вежлалам чегласьӧм визьнас, да с.в.

Бӧръяпомыс (помтӧм уна пӧв вежлалӧмӧн) лӧсьӧдӧм мыгӧръясыс воасны со кутшӧм "лым чирйӧ":

Тайӧ шусьӧ Кохлӧн лым чирйӧн, а сылӧн вежтасыс — Кохлӧн чукляӧн.

(водзӧ лоӧ на...)