Майтӧг больк

• веркӧс — поверхность
• йӧрыш — объём
• зэвтӧм энергия — энергия натяжения
• эрд — площадь
• тшӧтшкӧс — плоскость
• кытшвизь — окружность
• куим муртӧса телӧ — трёхмерное тело      

Майтӧг болькъяс вылӧ видзӧдігӧн ставным казялам налысь гӧгрӧс формасӧ. Мыйла татшӧм формаыс артмӧ?

Больк гартӧ сынӧдлысь кутшӧмкӧ юкӧн; веркӧс вӧрӧдчигӧн болькйын сынӧд йӧрышыс оз вежсьы. Физика законъяс серти, веркӧс эрдыс кӧ медічӧт, сылӧн зэвтӧм энергияыс тшӧтш лоӧ медічӧтӧн.

Сідзкӧ, сетӧм йӧрыша телӧяс пӧвстысь колӧ бӧрйыны сэтшӧмӧс, медым сылӧн веркӧсыс вӧлі медічӧт эрда.

 
Казьтыштам: тшӧтшкӧсын медся дженьыд визь, коді гартӧ сетӧм эрда мыгӧрсӧ, лоӧ кытшвизь. Мӧд ногӧн кӧ шуны, мыгӧрыс гӧгрӧс формаа. 

Вӧлӧмкӧ, куим муртӧса телӧяс йылысь задачалы вочакыв сэтшӧм жӧ: медічӧт эрда веркӧсыс лоӧ сфера. Тайӧс петкӧдлӧма немеч математик Герман Шварц 1884-ӧд воын. 

 Со мый вӧсна ӧтка больк гӧгрӧс.

Майтӧг плёнкаяс йылысь

• кытшвизь — окружность
• тшӧтшкӧс — плоскость
• бергалан веркӧс — поверхность вращения
• веркӧс артмӧдысь — образующая поверхности
• эрд — площадь

Вӧйтам майтӧг гудрасӧ кык кольча, сэсся бӧр перъям. Кольчаясыс кӧ абу вывті ылынӧсь ӧта-мӧдсяньыс, на костын вермас зэвтчыны плёнка. Кутшӧм лоас сылӧн формаыс?

 

Мед кольчаяс-кытшвизьяс куйлӧны параллель тшӧтшкӧсъясын, налӧн шӧрчутъяссӧ йитан веськыд визьыс лоӧ тшӧтшкӧсъясыслы перпендикулярӧн. Симметрия серти позьӧ шуны: плёнкаыс лоас тайӧ перпендикуляр гӧгӧр бергалан веркӧсӧн.

 

Мый сійӧ бергалан веркӧс? Босьтам кутшӧмкӧ тшӧтшкӧсджын. Сылӧн дорыс лоӧ веськыд визь; пасъям сійӧс m шыпасӧн. Гижтам тшӧтшкӧсджынйын кутшӧмкӧ чукля визь; шуам сійӧс веркӧс артмӧдысьӧн. Бергӧдам тшӧтшкӧсджынсӧ m веськыд визь гӧгӧр 360° вылӧ. Чукля визь бергалӧмӧн артмас веркӧс, коді шусьӧ m чӧрс (ось) гӧгӧр бергалан веркӧсӧн.

Медічӧт эрда веркӧс. Физика законъяс серти, плёнкаыс зэвтчас сідзи, медым веркӧсыслӧн лои медічӧт эрдыс (сэки сылӧн энергияыс лоас медічӧтӧн).

Вӧлӧмкӧ, кытшвизьяс-кольчаяс кӧ ӧта-мӧдсяньыс абу вывті ылын, плёнка веркӧсыслӧн артмӧдысь лоас бергалан чӧрслань нюкыльтчӧм чеп визьӧн. Тайӧ бергалан веркӧсыс шусьӧ катеноидӧн.

Кытшвизьясыс кӧ ӧта-мӧдсяньыс ылынӧсь, найӧс катеноидӧн оз позь йитны. Медічӧт эрда веркӧсыс лоас тэчӧма кык кытшысь (кольчаяс пытшкын зэвтчӧм плёнкаясысь).

Тайӧс позьӧ и экспериментысь аддзыны. Босьтам плёнкаӧн йитӧм кык кольча. Пондам найӧс ньӧжйӧника кыскавны ӧта-мӧдсяньыс. Кутшӧмкӧ здукӧ катеноид формаа плёнкаыс орас да кыкнан кольча пытшкас артмас тшӧтшкӧс плёнка.

ЧЕП ВИЗЬ

• петкӧдлан функция — показательная функция
• плюса лыд — положительное число
• бур унапельӧса — правильный многоугольник
• изъяс рӧшкыдмӧм — выветривание горных пород

Ӧшӧдам чеп либӧ гез сылысь кык помсӧ крепитӧмӧн. Кутшӧм лоас сылӧн формаыс?

Медводз шуам кыв-мӧд история йылысь. Галилео Галилей 1638-ӧд воын пасйӧма, ӧшалысь гезйыс пӧ пӧшти парабола кодь (y = cx² функция график кодь). Та вӧсна тшӧкыда гижӧны, Галилей пӧ чайтӧма чеп визьсӧ параболаӧн.

Иоахим Юнг, немеч математик да философ, петкӧдлӧма: тайӧ абу парабола. Сёрӧнджык нин чеп визьлысь стӧч формасӧ тӧдмалӧмаӧсь Г. Лейбниц, К. Гюйгенс да И. Бернулли; сы йылысь 1691-ӧд воын вӧлі йӧзӧдӧма гижӧд Acta Eruditorum журналын.

Гипербола косинус. Водзын ми висьтавлім e лыд да петкӧдлан функцияяс йылысь. Вайӧй артмӧдам e^x да e^‐x функцияясысь со кутшӧм комбинация: (e^x+e^‐x)/2. Сійӧ и шусьӧ гипербола косинусӧн. (Мыйла сідзи шусьӧ, ӧні огӧ кутӧй гӧгӧрвоӧдны, тригонометрия формулаяс ковмас казьтывны да.) Пасйӧны гипербола косинус функциясӧ кыдзи ch x. Графикыс серпас вылын петкӧдлӧма.

Вӧлӧмкӧ, чеп визь формасӧ позьӧ петкӧдлыны гипербола косинус отсӧгӧн. Стӧчджыка кӧ, сійӧ лоӧ горизонтальӧд да вертикальӧд вештӧм y = a∙ch(x/a) функция график, кӧні a — кутшӧмкӧ плюса лыд.

Унапельӧса кӧлесаяс. Позьӧ-ӧ вӧчны сэтшӧм туй, медым квадрата кӧлесаа машина сы кузя шердйысьтӧг ветліс? Вӧлӧмкӧ, позьӧ. Колӧ тэчны сылысь веркӧссӧ кымыньтӧм чеп визь мегыръясысь, кыдзи серпас вылын петкӧдлӧма.

Колана ногӧн чеп визь мегыръяс бӧрйӧмӧн позьӧ и мукӧд бур унапельӧса кӧлесаяслы лӧсялана туй вӧчны (куимпельӧсаысь кындзи).

Аркаяс. Кымыньтӧм чеп визь унаысь паныдасьлӧ архитектураын: шуам, 

Будапештса Keleti вокзал вевт,

 Шеффилдса Тӧвся сад вевт,

Барселонаса Casa Milà керкалӧн вевтувса аркаяс.

Косьтан пачьяслӧн профильыс тшӧкыда жӧ овлӧ кымыньтӧм чеп визь формаа.

Америкаса Юта штатын изъяс рӧшкыдмӧм понда артмӧм аркаяс (Rainbow Natural Bridge, Kolob Arch, Landscape Arch) тшӧтш пӧ кымыньтӧм чеп визьяс кодьӧсь.

Мый сійӧ e лыд?

• эма лыд — натуральное число
  
• петкӧдлан функция — показательная функция
  

 

Сьӧм прӧчентъяс арталӧм. Со ми пуктім банкӧ 1 сюрс шайт. Во помын кӧ банкыс содтӧ 100%, миянлы бӧр сетасны 2 сюрс шайт.

Мый артмас, банкыс кӧ вонас кыкысь прӧчентъяс содтӧ? Стӧчджыка кӧ, во джын мысти кӧ содӧ 50%, а сэсся нӧшта 50% содас (артмӧм суммаысь)? Бӧр сетасны 1,5∙1,5 = 1,5² = 2,25 сюрс шайт.

Мый нӧ артмас, банкыс кӧ вонас n‐ысь прӧчентъяс содтавны кутас? Во n‐ӧд юкӧн мысти артмас 1+1/n сюрс шайт. Сэсся, бара во n‐ӧд юкӧн мысти банкыс содтас 1+1/n шайтысь нӧшта n‐ӧд юкӧн. Артмас (1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайт. Сы бӧрын банкыс бара содтас n‐ӧд юкӧн, ӧні нин (1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайтысь. Артмас (1+1/n)∙(1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайт. Во помын миян лоас (1+1/n)ⁿ сюрс шайт.

Вӧлӧмкӧ, тшӧкыдджыка кӧ прӧчентъяс артавны кутам (гырысьджык n лыд кӧ босьтам), во помын унджык сьӧм воас. Но вывті ыджыд барыш оз ло: вӧлӧмкӧ, n лыдсӧ помтӧг содтӧмӧн воам e ≈ 2,718281828459045... сюрс шайтӧ.

Банк прӧчентъяс арталӧм йылысь гижӧд 1690-ӧд воын йӧзӧдӧма Яков Бернулли, швейцарияса математик.

 

 

Факториалъяс да e лыд. Мед n — кутшӧмкӧ эма лыд; сылӧн факториалӧн шусьӧ 1∙2∙3∙4∙...∙(n − 1)∙n лыд. Сійӧс пасйӧны кыдзи n! (лыддьӧны: n факториал). Шуам, 1! = 1, 2! = 1∙2 = 2, 3! = 1∙2∙3 = 6, 4! = 1∙2∙3∙4 = 24, 5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120, да с.в.

Ӧні вайӧй гижам со кутшӧм суммаяс:

1 + 1/1!;

1 + 1/1! +1/2!;

1 + 1/1! +1/2! + 1/3!;

1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4!;

...

1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!

...

Вӧлӧмкӧ, n лыдсӧ помтӧг ыдждӧдӧмӧн бара воам e лыдӧ. (Кӧсъянныд кӧ, компьютер либӧ калькулятор отсӧгӧн арталӧй тайӧ суммаяссӧ да аддзанныд, кыдзи найӧ вочасӧн матыстчӧны 2,718281828459045... лыд дорӧ.)

Петкӧдлан функция, чут координата да ӧд. Школаысь ми тӧдмалім петкӧдлан функция йылысь. Сетӧма кӧ кутшӧмкӧ плюса a лыд, быд x лыдлы сійӧ сетӧ f(x) = a^x лыдсӧ; a лыдыс кӧ 1-ысь гырысьджык, петкӧдлан функцияыслӧн со кутшӧм график (серпас вылас куим график: a = 1,5; a = 2; a = 3 лыдъяслы):

Вӧлӧмкӧ, a кӧ лоӧ e, тайӧ функцияыслӧн эм интереснӧй аслыспӧлӧслун. Мед чут мунӧ веськыд визьӧд да быд t кад здукӧ сылӧн координатаыс лоӧ e^t. Вӧлӧмкӧ, быд t кад здукӧ и ӧдыс лоӧ e^t. Тайӧ аслыссикаслун понда e лыд математикъяслы да физикъяслы зэв ёна колана.

Кыдзи оригами ногӧн ыдждӧдны куб кык пӧв

• веськыдсэрӧг – прямоугольник
• вундӧг – отрезок
• ӧтсяма куимпельӧсаяс – подобные треугольники
  

Оригами ногӧн позьӧ вӧчны кык вундӧг, кодъяс лӧсялӧны ³√2 да 1 моз. Та вӧсна позьӧ и куб кык пӧв ыдждӧдны.

Артмӧдны татшӧм кык вундӧг вӧзйӧма Питер Месснер Crux Mathematicorum журналын 1985-ӧд воын (гижӧма лыддьысьысьяслы задача пыдди). А мыйла буретш тадзи колӧ вӧчны, вӧлі гӧгӧрвоӧдӧма сёрӧнджык, 1986-ӧд воын.

1. Гижтам ABCD квадрат да юклам сійӧс ӧткодь куим веськыдсэрӧг вылӧ: ADQP, PQSR да RSCB.

2. Кабаласӧ кусыньтам сідзи, медым C чут веськаліс AB дор вылӧ, а S чут лоис PQ вундӧг вылын (Фудзиталӧн 6-ӧд аксиома серти).

Вӧлӧмкӧ, AC : BC = ³√2.

Дзоньнас подулалӧмсӧ ог вайӧд, сӧмын идеясӧ петкӧдла.

Казялам: SPC да CBT куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь кык пельӧс серти (∠CTB = 90° – ∠TCB = ∠SCP). Сідзкӧ, CS : PC = CT : BT.

Мед CB = 1, AC = x, BT = y. Сідзкӧ, CT = 1 + x – y, CS = (1 + x)/3, CP = (2x – 1)/3. Та вӧсна артмӧ пропорция: 

(1 + x) : (2x – 1) = (1 + x – y) : y.

Пифагор теорема серти, 1 + y² = (1 + x – y)². Медбӧръя кык ӧткодьлунысь позьӧ петкӧдны: x³ = 2.

Кыдзи ыдждӧдны куб кык пӧв

• йӧрыш – объём
• вундӧг – отрезок
• куимпельӧса – треугольник
• визьньӧв – луч

Тайӧ мог йывсьыс со кутшӧм легенда кольӧма. Чума дырйи Афинаын олысьяс юалӧмаӧсь Дельфойса оракуллысь, кыдзи мынны тайӧ приччасьыс. Ен тшӧктӧма налы алтарсӧ кык пӧв ыдждӧдны да вись (жертва) вайны. Алтарыс вӧлі куб кодь да, афинысаяс лӧсьӧдӧмаӧсь сэтшӧм жӧ куб да пуктӧмаӧсь алтар вылас. Сӧмын пӧрӧсыс эз быр. Сэсся найӧ Платон дорӧ шыӧдчӧмаӧсь. Сійӧ шуӧма, Ен пӧ скӧрмӧ тіян вылӧ геометрия тӧдтӧмлунсьыныд, колӧ пӧ вӧчны алтарсӧ куб мыгӧраӧн. Афинысаяс тайӧс вӧчӧмаӧсь да сӧмын сы бӧрын чумаыд бырӧма.

Збыльысь кӧ, тайӧ мог йывсьыс водзынджык тӧдлӧмаӧсь — сы йылысь Хиосса Гиппократ на мӧвпалӧма.

Кыдзи нӧ позьӧ кубсӧ кык пӧв ыдждӧны?

Кублӧн кӧ дорыс a кузьта, сылӧн йӧрышыс лоӧ a³. Колӧ артмӧдны 2a³ йӧрыша куб. Сылӧн дорыс ³√2a ыджда. Сідзкӧ, сетӧма кӧ a кузьта вундӧг, колӧ артмӧдны ³√2a кузьта вундӧг.

Позьӧ-ӧ татшӧм вундӧгсӧ циркульӧн да линейкаӧн артмӧдны? Вӧлӧмкӧ, оз. Тайӧс 1837-ӧд воын петкӧдлӧма Пьер Ванцель. (Ми гаравлім нин сылысь нимсӧ пельӧс трисектриса йылысь гижигӧн.)

А со кутшӧм ногӧн вундӧгсӧ ³√2 пӧв ыдждӧдлӧма Исаак Ньютон. Мед сетӧма a кузьта вундӧг.

1. Линейка вылас G, H чутъяс пасъям сідзи, медым GH = a.

2. Артмӧдам a кузьта доръяса ABC куимпельӧса.

3. Нюжӧдам AB да BC вундӧгъяссӧ веськыд визьясӧдз.

4. AB веськыд визь вылӧ пуктам D чутсӧ сідз, медым B куйліс A да D костын, AB = BD.

5. D да C чутъяс пыр веськыд визь нуӧдам.

6. Линейкасӧ пуктам сідз, медым сійӧ муніс A чут пыр, H чут куйліс BC визьньӧв вылын, а G куйліс A да H костын, DC визьньӧв вылын.

Вӧлӧмкӧ, AG = ³√2a.

Математика тӧдысьяслы инда, кыдзи тайӧс аддзыны. Шуам, a = 1. Мед AG = x, HC = z. Менелай теорема серти, 

(AG : GH)∙(HC : BC)∙(BD : DA) = 1, 

кытысь артмас xz = 2. Сэсся ABH куимпельӧсалы косинусъяс йылысь теоремасӧ гижам. Артмӧдам: x² + 2x = z² + z. Сідзкӧ, z⁴ + z³ – 4z – 4 = 0, кытысь z = –1 либӧ z = ³√4. Минуса лыд миянлы оз лӧсяв. Та вӧсна z = ³√4, x = ³√2.

Кыдзи оригами ногӧн артмӧдны пельӧс трисектриса?

• вундӧг — отрезок
• ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники

Сы йылысь, кыдзи йитӧма оригамиыс геометриякӧд, миян некымын гижӧд нин вӧлі. Сэтысь ми тӧдмалім: Фудзиталӧн медводдза вит аксиома отсӧгӧн позьӧ артмӧдны ставсӧ, мый вӧчӧны циркульӧн да линейкаӧн. А ӧні квайтӧд аксиома. Вӧлӧмкӧ, кутам кӧ вӧдитчыны сыӧн, вермам пельӧс трисектриса артмӧдны (циркуль да линейка кежысь сійӧс гижтыны он вермы).

Вайӧй петкӧдлам, кыдзи ёсь пельӧссӧ куим пельӧ юклыны (Хисаси Абэ ногӧн).

Сетӧма CAB пельӧс.

1. A чут пыр нуӧдам AB дорлы перпендикуляр (пасъям сійӧс AP).

2. AP вундӧгсӧ юклам шӧрипӧв (Q шыпасӧн пасъям шӧр чутсӧ).

3. Q чут пыр нуӧдам AB-лы параллель ногӧн QL веськыд визь.

4. Кабаласӧ кусыньтам сідз, медым P чут веськаліс AC веськыд визь вылӧ да A чут веськаліс QL веськыд визь вылӧ (P усяс P’ чутӧ, A усяс A’ чутӧ). Тайӧс позьӧ вӧчны Фудзиталӧн квайтӧд аксиома серти.

Вӧлӧмкӧ, ∠A’AB = ⅓∠CAB.

Подулалам сійӧс. Мед Q чут веськалӧ Q’ чутӧ. Q чут лоӧ AP вундӧглы шӧрӧн; симметрия вӧсна P’Q’ = A’Q’. Нӧшта A’Q лоӧ AP-лань перпендикуляр. Сідзкӧ, AQ’ лоӧ A’P’-лань перпендикуляр (бара симметрия вӧсна). Миян артмӧ: AP’Q’ да AA’Q’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти.

Мед A’R лоӧ AB-лань перпендикуляр. Сідзкӧ, A’R = QA = Q’A’. Та вӧсна AA’Q’ да AA’R куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти.

Сідзкӧ, ∆AP’Q’ = ∆AA’Q’ = ∆AA’R, кытысь артмӧ: ∠CAQ’ = ∠Q’AA’ = ∠A’AR.