ЛОГИКАЫСЬ НЕКЫМЫН ПАРАДОКС (“тешкодь пекляяс”)

Журденлӧн карточка. Босьтӧй карточкасӧ да гижӧй ӧти банас: “Мӧдар банас ылӧдлӧм”; мӧд банас – “Мӧдар банас збыль”. Мый нӧ гижӧма медводдза банас – збыль али ылӧдлӧм? Збыль кӧ, мӧд бансьыс висьталӧмыс (“Мӧдар банас збыль”) – ылӧдлӧм; сідзкӧ, медводдза банас гижӧма ылӧдлӧм. Та вӧсна, “Мӧдар банас ылӧдлӧм” абу веськыд да мӧд банас гижӧма збыль. Но гижӧдыс мӧд банас – “Мӧдар банас збыль”. Сідзкӧ, медводдза банас гижӧма збыль. Та вӧсна, мӧд банас ылӧдлӧм да с.в. Сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн миян артмалас ӧта-мӧдыскӧд паныда кывкӧртӧд: гижӧма збыль – гижӧма ылӧдлӧм – гижӧма збыль – гижӧма ылӧдлӧм да с.в.

Тош бритысь йылысь Бертран Расселлӧн парадокс. Ӧти карса шыранінын тош бритысь (мужичӧй) юӧртӧма: “Брита став мужичӧйсӧ, коді ачыс оз бритчы (да сӧмын найӧс)”. Коді бритӧ тош бритысьӧс? Сійӧ кӧ ачыс оз бритчы, сійӧ асьсӧ бритӧ (юӧртӧм серти). Сідзкӧ, сійӧ ачыс бритчӧ. Та вӧсна сійӧ асьсӧ оз брит (бара жӧ юӧртӧм серти).

Гундыр йылысь висьт. Гундыр гусялӧ ӧти зонкаӧс да шуӧ мамыслы:

– Тӧдмав, сёя ог ме тэнсьыд питӧ? Тӧдмалан кӧ, ог сёй да лэдза сійӧс. Он кӧ, сёя.

– Ойя да ойя, сёян тэ кагаӧс!

Гундыр заводитӧ мӧвпавны.

– Сёя кӧ, артмас: тэ тӧдмалін. Сідзкӧ, меным ковмас питӧ лэдзны. Ог кӧ сёй, тэ он тӧдмав. Сідзкӧ, ме кагатӧ сёя... да тэ тӧдмалан. Та вӧсна ог сёй да, тэ он тӧдмав...

...Гундыр мӧвпалігӧн мамыс кватитіс писӧ да пышйис.

PS Ыджыд аттьӧ ставыслы редактируйтӧмысь!

ЗАРАДЪЯС ЙЫЛЫСЬ ТОМСОН МОГ

плюса – положительный

минуса – отрицательный

бур куимпельӧса – правильный треугольник

бур тетраэдр – правильный тетраэдр

куимпельӧса бур бипирамида – правильная треугольная бипирамида

бур унабана – правильный многогранник

бан – грань

дорыш – ребро

Мог. Кыдзи колӧ пуктыны сфера вылӧ N-лыда ӧткодь электрическӧй зарад, медым артмӧм системалӧн энергияыс лои медічӧтӧн?

Тайӧ могсӧ пуктӧма англичан физик Дж. Дж. Томсон 1904-ӧд воын атом модель лӧсьӧдігӧн. Сэки нин аддзӧмаӧсь минуса зарада электронъяс, но эз на тӧдны атом ядрӧ йылысь. Томсон модель вӧлі со кутшӧм: атом тэчӧма минуса зарада электронъясысь, кодъяс куйлӧны плюса зарада сфера вылын.

Сэсся атом йылысь тӧдмалӧмаӧсь унджык да лои гӧгӧрвоана: Томсон модель оз лӧсяв. Но математикъяс водзӧ мӧвпалӧмаӧсь тайӧ мог йывсьыс.

Кыдзи артавны системалысь энергиясӧ? Кык ӧткодь зарада системалӧн энергияыс лоӧ E = kq²/r, кӧні k – константа, q – зарад ыджда, r – зарад кост. Сетӧма кӧ унджык зарад, содталам став зарад гозлысь энергиясӧ да миян артмас системалӧн энергия.

Тӧдса вочакывъяс. N кӧ лоӧ 2, кокньыд гӧгӧрвоны: энергияыс лоас медічӧтӧн сэк, кор кык зарад костыс медыджыд. Сідзкӧ, зарадъяссӧ колӧ пуктыны сфералӧн кык полюсӧ.

N кӧ лоӧ 3, зарадъяссӧ колӧ пуктыны сфералӧн экватор вылас сідзи, медым найӧ артмӧдісны бур куимпельӧса.

N кӧ лоӧ 4, зарадъяссӧ колӧ пуктыны сфера вылас сідзи, медым найӧ артмӧдісны бур тетраэдр.

N кӧ лоӧ 5, вочакывсӧ зэв дыр эз вермыны тӧдмавны. Сӧмын 2010-ӧд воын Рихард Шварц пуктӧма ӧтуввезйӧ стаття, кӧні вӧлі петкӧдлӧма: зарадъясыс артмӧдӧны куимпельӧса бур бипирамида. Стӧчджыка кӧ, куим зарад куйлӧ экватор вылас да артмӧдӧ бур куимпельӧса, а мӧд кык зарад колӧ пуктыны полюсъясӧ.

Теоремасӧ Шварц подулаліс компьютер отсӧгӧн, но эскӧдӧмыс сылӧн лӧсялана. 2013-ӧд воын Шварцлӧн уджыс петӧма математика журналын.

N кӧ лоӧ 6, зарадъясыс артмӧдӧны бур октаэдр. Бур октаэдрлӧн 8 бан, 6 йыв да 12 дорыш; быд бан лоӧ бур куимпельӧсаӧн, быд йылын вомӧнасьӧ нёль бан.

N кӧ лоӧ 12, зарадъясыс артмӧдӧны бур икосаэдр. Бур икосаэдрлӧн 20 бан, 12 йыв да 30 дорыш; быд бан лоӧ бур куимпельӧсаӧн, быд йылын вомӧнасьӧ вит бан.

Мед N лоӧ 8. Ми тӧдам: куб – тайӧ кӧкъямыс йыла бур унабана. Но пуктыны кӧ зарадъяссӧ куб йывъясӧ, артмӧм тэчас энергияыс оз ло медічӧтӧн.

Нӧшта эм 20 йыла бур унабана – додекаэдр. Сылӧн 12 бан да 30 дорыш. Быд бан – бур витпельӧса, быд йылын вомӧнасьӧ куим бан.

Вӧлӧмкӧ, пуктыны кӧ 20 зарад додекаэдр йывъясӧ, энергияыс оз ло медічӧтӧн. Кутшӧмӧн лоасны кӧкъямыс атома да кызь атома тэчасъяс медічӧт энергияӧн, абу на тӧдса.

УНАБАНА ЙЫЛЫСЬ ДЕКАРТ ТЕОРЕМА

мылькъя – выпуклый
унабана – многогранник
бан – грань
содтас – сумма
йыв – вершина
дорыш – ребро
подулавны – доказать
вундӧг – отрезок
унапельӧса – многоугольник

1620-ӧд воын прансуз математик Рене Декарт арталӧма мылькъя унабаналысь став бан пельӧс содтассӧ. Немеч математик Лейбниц тӧдмалӧма сылӧн гижӧд йылысь, вӧчӧма копия. Но сёрӧнджык Декарт результат йылысь вунӧдӧмаӧсь. Сійӧс аддзӧмаӧсь да йӧзӧдӧмаӧсь сӧмын 1860-ӧд воын. Теоремаыс со кутшӧм. 

Теорема. Мед мылькъя унабаналӧн j йыв, b бан да d дорыш. Сэки сылӧн став бан пельӧс содтасыс лоӧ: 

1) (d – b)∙360°, 2) (j – 2)∙360°.

Декарт теоремаысь позьӧ кокньыда артмӧдны Эйлер теорема; мӧдарӧ, подулавны кӧ ӧти формуласӧ Декарт теоремаысь, мӧдыс артмӧ Эйлер теоремаысь. 

Декарт теорема эскӧдӧм. Унабаналӧн дорышыс лоӧ кык бан вомӧнасян вундӧгӧн. Торйӧдам унабаналысь веркӧссӧ банъяс вылӧ. Быд дорыш юксяс кык вундӧг вылӧ. Ставыс миян артмас b унапельӧса да 2d дор. 

Школа геометрия курсысь ми тӧдам: n-пельӧсалӧн пельӧс содтасыс лоӧ (n – 2)∙180° = n∙180° – 360°; n-пельӧсалӧн эм n дор. Сідзкӧ, став унапельӧсалӧн став пельӧс содтасыс лоӧ 

2d∙180° – b∙360° = (d – b)∙360°. 

Миян артмис медводдза формулаыс. 

Эйлер теорема серти, b + j – d = 2; сідзкӧ, (d – b)∙360° = (j – 2)∙360°. Сідзкӧ, и мӧд формулаыс лӧсялӧ.

Унабана йылысь Эйлер теорема – 2

унапельӧса – многоугольник

вундӧг – отрезок

йыв – вершина

висьталӧм – утверждение

Воддза гижӧдас ми вӧчим мылькъя унабанаысь тшӧтшкӧс фигура. Унабаналӧн кӧ b бан, j йыв да d дорыш, артмӧм фигураын b – 1 унапельӧса, j йыв да d вундӧг. Став унапельӧсасӧ позьӧ вӧчны мылькъяӧн. Сідзкӧ, Эйлер теорема петӧ водзӧ висьталӧмысь.

Висьталӧм. Мед унапельӧсасӧ юклӧма u мылькъя унапельӧса вылӧ; тайӧ фигураын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Сэки u + j – v = 1.

Эскӧдӧм идеяыс татшӧм. Ми некымынысь содтам либӧ чышкам вундӧгъяс да йывъяс сідзи, медым u + j – v лыд эз вежсьы, да бӧръяпомыс миян артмас ӧти куимпельӧса.

Куимпельӧсаяс вылӧ юклӧм. Босьтам ӧти унапельӧса да нуӧдам сылысь кутшӧмкӧ диагональ. Воддза серпасын кӧ вӧлі u = m, j = n, v = k, выль серпасын лоас u = m + 1, j = n да v = k + 1.

Сідзкӧ, выль серпасын 

u + j – v = (m + 1) + n – (k + 1) = m + n – k. 

Та вӧсна диагональ нуӧдӧм бӧрын u + j – v лыд оз вежсьы.

Диагональяс нуӧдігӧн став унапельӧсасӧ юклам некымын куимпельӧса вылӧ.

Куимпельӧса чышкалӧм. Мед унапельӧса юклӧма u куимпельӧса вылӧ; тайӧ серпасын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Миянлы колӧ петкӧдлыны: u + j – v = 1.

Босьтам куимпельӧса, кодлӧн кӧть ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас, да чышкам сійӧс. Мыйла u + j – v оз вежсьы?

Мед u = m, j = n, v = k. Видлам кык ног.

1) Чышкӧм куимпельӧсаыслӧн кык дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса, ӧти йыв да кык дор; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + (n – 1) – (k – 2) = m + n – k.

2) Чышкӧм куимпельӧсалӧн сӧмын ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса да ӧти вундӧг; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + n – (k – 1) = m + n – k.

Куимпельӧсаяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн чышкалам да бӧръяпомыс миян коляс ӧти куимпельӧса.

Лоас u = 1, j = 3, v = 3, та вӧсна u + j – v = 1 + 3 – 3 = 1. Тайӧн эскӧдӧмсӧ сигӧртам.

Мый лоас, унабана кӧ абу мылькъя?

Мед унабана абу мылькъя, но сылӧн веркӧсыс “сфера сяма”: нюжӧдӧмӧн да топӧдӧмӧн (но орйӧдлытӧг да лемавтӧг) сыысь позьӧ вӧчны сфера. Вӧлӧмкӧ, сэки Эйлер теорема лӧсялӧ.

Веркӧсыс кӧ абу “сфера сяма” (шуам, сійӧ ӧшинь рама кодь), теорема торксьӧ.

PS Ыджыд аттьӧ бур йӧзлы отсӧгысь!

Унабана йылысь Эйлер теорема – 1

мылькъя унабана – выпуклый многогранник

бан – грань

дорыш – ребро

йыв – вершина

видлӧг – пример

тшӧтшкӧс – плоскость, плоский

Эйлер теорема. Мед мылькъя унабаналӧн b бан, d дорыш да j йыв. Сэки b + j – d = 2.

Медводз петкӧдлам некымын видлӧг.

Тетраэдрлӧн 4 бан, 4 йыв, 6 дорыш; b + j – d = 4 + 4 – 6 = 2.

Кублӧн 6 бан, 8 йыв, 12 дорыш; b + j – d = 6 + 8 – 12 = 2.

Витпельӧса пирамидалӧн 6 бан, 6 йыв, 10 дорыш; 

b + j – d = 6 + 6 – 10 = 2.

Квайтпельӧса призмалӧн 8 бан, 12 йыв, 18 дорыш; 

b + j – d = 8 + 12 – 18 = 2.

Октаэдрлӧн 8 бан, 6 йыв, 12 дорыш; b + j – d = 8 + 6 – 12 = 2.

Эйлер эскӧдӧмын тыдовтчисны тырмытӧмторъяс. Колана ногӧн теоремасӧ вермис подулавны прансуз Огюстен Луи Коши. Математиклӧн шӧр мӧвпыс вӧлі татшӧм.

Унабанасӧ “лямӧдам” либӧ “нюжӧдам” да видзӧдлам “артмӧм” тшӧтшкӧс серпас. Думыштам, мый унабанасӧ вӧчӧма резинаысь да быд дорышті ручкаӧн нуӧдӧма визь. Ӧти бансӧ вундам, а кольӧм веркӧссӧ нюжӧдам сідзи, медым сійӧ лои тшӧтшкӧсӧн да быд чертитӧм визь лои вундӧгӧн.

Петкӧдлам некымын видлӧг.

Мед унабаналӧн эм b бан, d дорыш да j йыв. Тшӧтшкӧс серпас вылын лоӧ b – 1 унапельӧса, d вундӧг да j йыв. (Ӧти бан ми вундім, а йыв-дорышсӧ колим.) Сідзкӧ, миянлы колӧ петкӧдлыны: 

(b – 1) + d – j = 1.

Кыдзи тайӧс вӧчны, висьталам водзӧ гижӧдас.

Кымын витпельӧса вермӧ лоны фуллерен молекулаын?

бур унапельӧса – правильный многоугольник 
мылькъя унабана – выпуклый многогранник 
бан – грань 
дорыш – ребро (у многогранника) 
вундӧг – отрезок 
вомӧнасьны – пересекаться
кык бан вомӧнасян вундӧг – отрезок, по которому пересекаются две грани
эскӧдӧм – доказательство 

Фуллерен молекула тэчӧма углерод атомысь. Структура формулаыс бур витпельӧсаысь да квайтпельӧсаысь тэчӧм унабана. Медся тӧдса фуллерен молекулаыс футбол мач кодь. Сылӧн 60 углерод атом, 12 витпельӧса да 20 квайтпельӧса. 

Эм и мукӧд фуллерен: шуам, C70, C540. 

Вӧлӧмкӧ, быд фуллерен молекулалӧн вермӧ лоны сӧмын 12 витпельӧса. Тайӧ петӧ Эйлер теоремаысь: 
мылькъя унабаналӧн кӧ b бан, d дорыш да j йыв, сэки 

b + j – d = 2. 

Эскӧдӧм. Мед молекулаын v витпельӧса да k квайтпельӧса. Сэки сылӧн b = v + k бан. 

Фуллеренлысь структура формуласӧ петкӧдлысь унабаналӧн дорышыс лоӧ кык бан вомӧнасян вундӧгӧн. Торйӧдам унабаналысь веркӧссӧ банъяс вылӧ (v витпельӧса да k квайтпельӧса). Быд дорыш юксяс кык вундӧг вылӧ (ставнас d дорыш). Та вӧсна артмӧм унапельӧсалӧн ставыс лоӧ 2d дор. Мӧдарсянь, v витпельӧсалӧн да k квайтпельӧсалӧн ставыс 5v + 6k дор. Сідзкӧ, 2d = 5v + 6k, либӧ d = (5v + 6k)/2. 

Унабанаыслӧн быд йыв лоӧ куим бан вомӧнасян чутӧн (нёль либӧ унджык бан вомӧнасьны оз нин вермыны). Веркӧссӧ банъяс вылӧ торйӧдігӧн быд йыв артмӧдас нин куим чут. Унабанаыслӧн j йыв, та вӧсна артмӧм унапельӧсалӧн ставыс лоӧ 3j йыв. Мӧдарсянь, v витпельӧсалӧн да k квайтпельӧсалӧн ставыс 5v + 6k йыв. Та вӧсна 3j = 5v + 6k, либӧ j = (5v + 6k)/3. 

Эйлер теорема серти, 

2 = b + j – d = v + k + (5v + 6k)/3 – (5v + 6k)/2 

= v + k + 5v/3 + 6k/3 – 5v/2 – 6k/2 

= v + 5v/3 – 5v/2 = v/6. 

Сідзкӧ, v/6 = 2, кытысь v = 12.

Релятивизм теория йылысь кыв-мӧд

Ыджыд массаа чутӧ гравитация закон серти усьӧ мӧд чут, сы вылын пукалӧ видзӧдысь (наблюдатель). Тайӧ усьӧмыс бӧрся видзӧдӧ вӧрзьӧдчытӧм морт. Мый вермисны эськӧ шуны видзӧдысьясыс ӧта-мӧдыслы? (Гӧгӧрвоӧда улынджык.)

Вӧрзьӧдчытӧм видзӧдысь:

Шарлань матыстчан —

Сы пытшкас

Некор он пыр.

Усьны веркӧсас

Ковмас тэд

Помтӧма дыр.

Усьысь видзӧдысь:

Ме нин шар пытшкас.

Регыдӧн

Шӧрӧдзыс воа.

Кытчӧ веськала сэсся?

...А кадыс сэн лоас?

 

Со кутшӧм кад парадокс артмӧ!

Гӧгӧрвоӧда. Релятивизм теория серти, сьӧкыд чутсӧ гӧгӧртӧма аслыспӧлӧс сфераӧн. Сiйӧ шусьӧ лоӧмтор вӧртасӧн (горизонт событий). Вӧрзьӧдчытӧм видзӧдысь аддзӧ: усьысь чутыс некор тайӧ сфера пытшкас оз пыр, лоӧмтор вӧртасас помтӧма дыр усяс. А усьысь видзӧдысь аддзӧ: сфера пытшкас сійӧ пырӧ пома кадӧн (за конечное время); сыысь унджык, сфера шӧрӧдзыс воас пома кадӧн! А мый лоас сэсся, кытчӧ усьысь чутыс веськалас да позяс-ӧ видзӧдысьыс кад урчитны (гашкӧ, и “сэсся” кыв лӧсявтӧм?), наука нинӧм оз шу.

Но тайӧ, дерт, идеальнӧй модель: масса оз вермы куйлыны ӧти чутын.