Кыдзи оригами ногӧн квадрат артмӧдны?

1. Кабала кусыньтӧмӧн артмӧдам кутшӧмкӧ веськыд визь. Пасъям сійӧс a-ӧн.

2. Артмӧдам a веськыд визьлы перпендикуляр (тайӧс позьӧ вӧчны Фудзиталӧн 4-ӧд аксиома серти). Пасъям сійӧс b-ӧн; a да b-лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям A-ӧн.

3. Артмӧдам b веськыд визьлы перпендикуляр (колӧ сӧмын, медым сійӧ a-кӧд эз лӧсяв). Пасъям сійӧс c-ӧн; b да c-лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям B-ӧн.

4. Кабаласӧ кусыньтам сідз, медым b визь лои а визь вылын. (тайӧс позьӧ вӧчны Фудзиталӧн 3-ӧд аксиома серти). Артмӧдӧм кусыньтанін вомӧнасяс c-кӧд ӧти чутын; пасъям сійӧс C-ӧн.

Ми аддзам: ∠ABC = 90°, ∠BAC = 45°. Сідзкӧ, ∠BCA = 45°. Та вӧсна BA = BC.

5. C чут пыр нуӧдам c-лы перпендикуляр. Сійӧ вомӧнасяс a веськыд визькӧд ӧти чутын. Пасъям сійӧс D-ӧн.

Миян артмӧ: ABCD – квадрат.

ОРИГАМИ ГЕОМЕТРИЯ

• бур унапельӧса – правильный многоугольник
• ӧткодь доръяса куимпельӧса – равносторонний треугольник
• вундӧг – отрезок
• кужӧд – искусство

Оригами – японияса кужӧд, кабала кусыньтӧмӧн уна пӧлӧс фигураяс тэчӧм. Бумагаысь вӧчӧм пыжъяс да лэбачьяс, чайта, ставныд аддзывлінныд.

1893-ӧд воын Тандалам Сундара Роулӧн вӧлі йӧзӧдӧма “Бумага кусыньтӧм кузя геометрияса уджъяс” небӧгыс (“Geometric Exercises in Paper Folding”). Сэні авторыс петкӧдлӧма, кыдзи позьӧ оригами ногӧн бур унапельӧсаяс артмӧдны: ӧткодь доръяса куимпельӧса, квадрат, бур витпельӧса да мукӧдъяс. Тшӧтш и бур ӧкмыспельӧса лӧсьӧдны. Сылӧн быд пельӧсыс 140 градус ыджда да, циркульӧн да линейкаӧн сійӧс артмӧдны он вермы.

ХХ нэмын “оригами геометрия” кузя нӧшта некымын гижӧд петӧма. 1989-ӧд воын японияса математик Фудзита (Huzita) лӧсьӧдӧма квайт аксиома. Медводз пасъям: кабала кусыньтан да, веськӧдӧм бӧрын кольӧ кусыньтанін. Тадзи оригами ногӧн веськыд визьяс нуӧдӧны.

Со Фудзита аксиомаяс.

1. Быд кык чут пыр позьӧ веськыд визь нуӧдны.

2. Быд чутсӧ позьӧ мӧд вылас пуктыны.

Кусыньтам кабаласӧ сідз, медым A чут B чут вылӧ веськалӧма. Бумага веськӧдӧм бӧрын артмӧ веськыд визь, коді лоӧ AB вундӧглы шӧр перпендикулярӧн.

3. Быд веськыд визьсӧ позьӧ мӧд вылас пуктыны.

Кусыньтам кабаласӧ сідзи, медым a веськыд визь b веськыд визькӧд лӧсяліс. Визьясыс кӧ вомӧнасьӧны, бумага веськӧдӧм бӧрын артмӧ ӧти пельӧслӧн биссектриса.

4. Быд чут пыр позьӧ нуӧдны быд веськыд визьлы перпендикуляр. (Кабаласӧ кусыньтам сідзи, медым кусыньтанін муніс бӧрйӧм чут пыр да миян веськыд визьлӧн юкӧнъяс лӧсялісны.)

5. Сетӧма кӧ веськыд визь да кык чут, кабаласӧ позьӧ кусыньтны сідзи, медым кусыньтанін медводдза чут пыр муніс, а мӧд чут бӧрйӧм веськыд визьӧ веськаліс.

6. Сетӧма кӧ кык чут да кык веськыд визь, кабаласӧ позьӧ кусыньтны сідзи, медым медводдза чут веськаліс медводдза веськыд визь вылӧ, а мӧд чут – мӧд веськыд визь вылӧ.

Ж. Жюстэн да сёрӧнджык К. Хатори сизимӧд аксиома лӧсьӧдӧмаӧсь:

7. Сетӧма кӧ чут да кык веськыд визь, позьӧ кабала кусыньтӧмӧн чутсӧ медводдза веськыд визь вылӧ пуктыны сідз, медым кусыньтанін лои мӧд веськыд визьыслы перпендикулярӧн.

ПЕЛЬӦС ТРИСЕКТРИСАЯС ЙЫЛЫСЬ – 2

• куимпельӧса (куимсэрӧг) – треугольник
• ӧткодь доръяса куимпельӧса (куимсэрӧг) – равносторонний треугольник

Куимпельӧсалӧн трисектрисаяс

1899 воын Фрэнк Морли петкӧдлӧма: быд куимпельӧса пытшкын орчча трисектрисаяс вомӧнасян чутъясысь артмӧ ӧткодь доръяса куимпельӧса.

Тайӧ теоремасӧ позьӧ уна ногӧн подулавны. Медся дженьыд да кокньыд эскӧдӧмсӧ Джон Конвей лӧсьӧдӧма (сылӧн “Олӧм” ворсӧм йылысь ми гижлім нин). Идеяыс со кутшӧм. Казьтыштам: быд куимсэрӧгын пельӧсъяслӧн суммаыс 180° лоӧ. Мед a, b, c – плюса лыдъяс, a + b + c = 60. Сэки эмӧсь со кутшӧм пельӧсъяса куимсэрӧгъяс:

60°, 60°, 60°;

a + 60°, b + 60°, c;

a + 60°, b, c + 60°;

a, b + 60°, c + 60°;

a + 120°, b, c;

a, b + 120°, c;

a, b, c + 120°.

Мед BPC куимпельӧсалӧн ∠BPC = a + 120°, ∠PBC = b, ∠PCB = c. Пуктам BC вылӧ Z да Y чутъяс сідзи, медым ∠PZB = ∠PYC = a + 60°. Нӧшта бӧръям масштаб сідзи, медым PZ = PY = 1. Сэки BPZ куимпельӧсаын ∠PBZ = b, ∠PZB = a + 60°, ∠BPZ = c + 60°; CPY куимпельӧсаын ∠PCY = c, ∠PYC = a + 60°, ∠CPY = b + 60°.

Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам a, b, c + 120° пельӧсъяса ARB куимсэрӧг да a, b + 120°, c пельӧсъяса AQC куимсэрӧг.

Вӧлӧмкӧ, пуктыны кӧ ∆BPC, ∆ARB, ∆AQC, ∆BPR = ∆BPZ, ∆CPQ = ∆CPY, кыдзи серпас вылын петкӧдлӧма, артмас 3a, 3b, 3c пельӧсъяса ABC куимсэрӧг, сылӧн AR, AQ, BP, BR, CP, CQ трисектрисаяс да ӧткодь доръяса PQR куимпельӧса.

ПЕЛЬӦС ТРИСЕКТРИСАЯС ЙЫЛЫСЬ – 1

• кытшвизь – окружность
• веськыд визь – прямая
• тшӧтшкӧс – плоскость
• плюса дзонь лыд – положительное целое число
• видлӧг – пример
• кывкӧртӧд – следствие

Биссектриса юкӧ пельӧссӧ шӧрипӧв. Школа геометрияысь ми тӧдам:

1) Быд пельӧслысь биссектрисасӧ позьӧ вӧчны циркульӧн да линейкаӧн.

2) Куимсэрӧг пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Трисектрисаяс – пельӧссӧ куим пельӧ юкысь кык веськыд визь.

Позьӧ-ӧ трисектрисаяс артмӧдны циркуль да линейка отсӧгӧн?

Мӧд ногӧн кӧ шуны, позьӧ-ӧ кутшӧмкӧ пельӧслысь коймӧд юкӧнсӧ торйӧдны? Вочакывсӧ Важ Грецияын на корсьӧмаӧсь. Казьтыштам: циркульӧн позьӧ гижтыны кутшӧмкӧ шӧрчутсянь бӧрйӧм радиуса кытшвизь, а линейкаӧн позьӧ гижтыны бӧрйӧм кык чут пыр веськыд визь. Пельӧслысь коймӧд юкӧн артмӧдӧм вылӧ тайӧ кык тор вӧчӧмыс элладаса математикъяслы эз на вӧв тырмымӧн. 

Вайӧ петкӧдлам, кыдзи ёсь пельӧслысь коймӧд юкӧнсӧ торйӧдӧма Архимед. Линейка вылас водзвыв кык чут пасъям. Сэсся со мый колӧ вӧчны.

1) Пельӧслысь ӧти дорсӧ нюжӧдам веськыд визьӧ.

2) Циркульӧн кытшвизь нуӧдам: шӧрчутыс мед лоас пельӧс йылын (B чут), а радиусыс линейка вылас пасйӧм чутъяс кост ыджда.

3) Мед пельӧсыслӧн мӧд дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд A чутын. Ньӧжйӧника вешталам да бергӧдам линейкасӧ сідзи, медым сійӧ A чут пыр муніс, ӧти пасйӧм чут кытшвизь вылӧ веськаліс (C чут), а мӧдыс – веськыд визь вылӧ (D чут).

Миян артмӧ: AB = BC = CD. Коді школа геометрия тӧдӧ, вермас артыштны да аддзас: CBD пельӧс лоӧ ABE пельӧс коймӧд юкӧн ыджда.

Сідзкӧ, Архимедлы ковмӧма содтӧдтор вӧчны: сэтшӧм ногӧн линейкасӧ пуктыны, медым сійӧ тшӧтшкӧс вылын бӧрйӧм чут пыр муніс, а пасйӧм чутъясыс бӧрйӧм визьясӧ веськалісны.

Позьӧ-ӧ сӧмын веськыд визьяс да кытшвизьяс гижтӧмӧн пельӧслысь артмӧдны трисектрисасӧ? Математикъяс та вылӧ вочакывсӧ уна нэм чӧж корсьӧмаӧсь. И сӧмын 1837-ӧд воын Пьер Ванцель петкӧдлӧма: оз позь.

Дерт, эмӧсь пельӧсъяс, кодъясӧс куим пельӧ юклыны позьӧ циркуль да линейка отсӧгӧн. Шуам, 30 градуса пельӧс позьӧ циркульӧн да линейкаӧн артмӧдны – мӧд ног шуны: веськыд пельӧс позьӧ куим пельӧ юклыны. Вӧлӧмкӧ, 360°/N ыджда пельӧс позьӧ куим пельӧ юклыны сэк да сӧмын сэк, кор N оз юксьы 3 вылӧ (тані N – плюса дзонь лыд).

Видлӧг. 30° = 360°/12; 12 юксьӧ 3 вылӧ. Сідзкӧ, 30 градуса пельӧс циркульӧн да линейкаӧн оз позь куим пельӧ юклыны.

Кывкӧртӧд. 10 градуса пельӧс оз позь циркульӧн да линейкаӧн артмӧдны.

(водзӧ лоӧ на...)

“ОЛӦМ ВОРСӦМ” – 2

пома лыда ловъя клеткаа – состоящий из конечного числа живых клеток

Висьталам нӧшта некымын интереснӧй тэчас йылысь.

R-пентамино. Тайӧ 5 ловъя клеткаысь тэчас; сійӧс петкӧдлӧма серпас вылын:

R-пентамино эволюционируйтӧ вель дыр; 1103 вежсьӧм бӧрын артмӧ 8 блок, 4 мазі чом, 1 пыж, 1 тупӧсь, 1 караб (тайӧ натюрмортъяс, найӧ оз нин вежсьыны), куим клеткаа 4 осциллятор (кыдз ми тӧдам нин, найӧ “бергалӧны” шӧр клетка гӧгӧр) да 6 планер (найӧ диагональӧд “лэбӧны”, вӧрзьӧдчытӧм торъяссянь ылыстчӧмӧн).

Конвей юалӧм. Эм-ӧ ӧтырышъя быдмысь тэчас? Стӧчджыка кӧ, позьӧ-ӧ татшӧм торъяланлуна тэчассӧ лӧсьӧдны:

1) сійӧ пома лыда ловъя клеткаа;

2) кӧть кутшӧм ыджыд лыд он босьт, кутшӧмкӧ здукӧ артмас сыысь унджык ловъя клетка.

Татшӧм тэчассӧ – планер ружйӧ (серпас вылын) вӧлі лӧсьӧдӧма 1970-ӧд вося ноябрын массачусетса математикъясӧн. 40-ӧд вежсьӧм бӧрын артмӧ медводдза планер, а быд 30 вежсьӧм бӧрын “чужӧ” выль планер.

Планер ружйӧ эволюция бӧрын:

Ӧтырышъя быдмысь тэчас нӧшта ӧти сикаса – сідз шусяна “паровозъяс”. Найӧ мунӧны планеръяс либӧ космическӧй корабльяс моз, но туйсӧ ас бӧрсяыс кольӧны. Шуам, эм планер ружйӧа туйсӧ кольысь паровоз.

Райса сад (либӧ Эдем сад) – тайӧ конфигурация, кодлӧн водзвывса тэчасыс абу; нинӧм оз вермы пӧрны сыӧ ӧти вежсьӧм мысти. (Татшӧм нимыс сетӧма, райса сад оз артмы эволюция бӧрын да.)

Ӧти пример серпас вылын петкӧдлӧма; сійӧс лӧсьӧдӧма Р. Бэнкс 1971 воын.

“ОЛӦМ” ВОРСӦМ

1970 воын кембриджса математик Джон Конвей лӧсьӧдӧма аслыспӧлӧс кык муртӧса енкӧла да шуӧма сійӧс “Олӧм” ворсӧмӧн. Збыльысь кӧ, тайӧ абу ворсӧм – ворсысьяс абуӧсь да. Индан кӧ воддза здукся серпас, сылысь вежсьӧм-сӧвмӧм верман тӧдмавны енкӧлаыс законъяс серти.

Конвей мирыс – тайӧ квадрат клетка вылӧ юклӧм тшӧтшкӧс (тетрадь лист кодь, сӧмын помтӧм). Торъя кык клетка шусьӧны орччаӧн, налӧн кӧ эм кӧть ӧти ӧтувъя чут. Сідзкӧ, быд клеткалӧн эм кӧкъямыс “сусед”.

Быд клетка либӧ “ловъя”, либӧ “ловтӧм” (найӧс пасйӧны торъя рӧмъясӧн).

Ловъя да ловтӧм клеткаясысь серпасыс вежсьӧ сетӧм кад коласт мысти (шуам, 1 секунд мысти) со кутшӧм законъяс серти:

1) клеткаыс кӧ ловъя да сылӧн кӧ эм кык либӧ куим ловъя сусед, сійӧ кольӧ ловъяӧн;

2) клеткаыс кӧ ловтӧм да сылӧн кӧ эм куим ловъя сусед, сійӧ “ловзяс”;

3) мӧд ногӧн кӧ, клеткаыс кулӧ (ӧткалунла либӧ дзескыдлунла) либӧ кольӧ ловтӧмӧн.

Медводдза видлӧг. Босьтам сувтсаногӧн тэчӧм орчча ловъя куим клетка. Кутшӧм лоас серпасыс 1 секунд мысти? Шӧрса ловъя клеткалӧн кык ловъя сусед да, сійӧ коляс ловъяӧн. Вылыс да улыс ловъя клеткаяс куласны, налӧн сӧмын ӧти ловъя сусед да. Шӧрса ловъя клеткалӧн веськыдвывса да шуйгавывса суседъяс ловзясны. Мукӧд клеткаяс ловтӧмӧн колясны. Сідзкӧ, артмас водсаногӧн тэчӧм орчча куим клетка.

Ӧні нин позьӧ гӧгӧрвоны: 2 секунд мысти бара лоас сувтсаногӧн тэчӧм орчча куим клетка, да с. в. Сэтшӧм сяма серпасъяс шусьӧны осцилляторъясӧн.

Мӧд видлӧг. Ловъя нёль клетка артмӧдӧ квадрат. Нёльнаныс ловъяӧн колясны, налӧн куим ловъя сусед да. Став мукӧд клеткаыс ловтӧмӧн коляс. Сідзкӧ, серпасыс оз вежсьы. Сэтшӧм сяма серпасъяс шусьӧны натюрмортъясӧн.

Коймӧд видлӧг. Ловъя куим клетка артмӧдӧ пельӧс. Куимнаныс колясны ловъяӧн, ставыслӧн кык ловъя сусед да. Нӧшта ӧти ловтӧм клетка ловзяс. Мукӧд клеткаяс ловтӧмӧн колясны. Сідзкӧ, артмас квадрат, сэсся серпасыс оз нин вежсьы.

Нёльӧд видлӧг. Мед ловъя клеткаяс тэчӧмаӧсь сідзи, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын (тэчасыс шусьӧ планерӧн).

Тэчасыс вежсяс со кыдзи:

Ми аддзам: 4 секунд мысти серпасыс лоас воддза кодь, но улӧ да веськыдвылӧ вештӧм.

Тані петкӧдлӧма нӧшта некымын натюрморт:

Тані петкӧдлӧма кык осциллятор:

1. крест

2. часі

Эмӧсь и планер сяма тэчасъяс. Тані петкӧдлӧма сідз шусяна кокньыд космическӧй корабль:

Нёль секунд мысти артмас вештӧм воддза тэчас. Эм нӧшта сэтшӧм торъяланлуна кык космическӧй корабль: шӧркоддьӧм сьӧктаа да сьӧкыд. Серпас вылын петкӧдлам воддза тэчасъяссӧ.

шӧркоддьӧм сьӧктаа корабль:

сьӧкыд корабль:

(водзӧ лоӧ на...)

Мылькъя унабанаяс да экономика могъяс

• мылькъя унабана – выпуклый многогранник
• видлӧг – пример
• мылькъя унапельӧса – выпуклый многоугольник
• куим муртӧса ылдӧс – трёхмерное пространство
• уна муртӧса мылькъя унабана – многомерный выпуклый многогранник

Медводз видлӧг видзӧдлам. Шуам, пабрик лэдзӧ кык вӧчас. На вылӧ колӧ видзны куим сикас сырье:

медводдза вӧчас единица вылӧ – 1 ед. медводдза сикас сырье, 1 ед. мӧд сикас сырье, 1 ед. коймӧд сикас сырье;

мӧд вӧчас единица вылӧ – 0 ед. медводдза сикас сырье, 1 ед. мӧд сикас сырье да 3 ед. коймӧд сикас сырье.

Ӧти лунӧ пабрик вермӧ видзны:

медводдза сикас сырье – 3 единица либӧ этшаджык;

мӧд сикас сырье – 4 единица либӧ этшаджык;

коймӧд сикас сырье – 9 единица либӧ этшаджык.

Мед пабрик лэдзӧ ӧти луннас x ед. медводдза вӧчас да y ед. мӧд вӧчас. Табличаысь ми аддзам: сійӧ видзӧ x ≤ 3 ед. медводдза сикас сырье, x + y ≤ 4 ед. мӧд сикас сырье, x + 3y ≤ 9 ед. коймӧд сикас сырье. Нӧшта x ≥ 0 да y ≥ 0.

	Медводдза вӧчас   (x ед.)	Мӧд вӧчас  (y ед.)	Ӧтлаын	Позьӧ видзны ӧти луннас
Медводдза сикас сырье	x	0	x	≤ 3
Мӧд сикас сырье	x	y	x + y	≤ 4
Коймӧд сикас сырье	x	3y	x + 3y	≤ 9

Шуам, медводдза вӧчасыслӧн доныс 100 шайт/единица, мӧдыслӧн доныс 150 шайт/единица. Кутшӧм x да y ыдждаяс колӧ бӧрйыны, медым пабриклӧн барышыс лои медыджыд?

Барышыс лоӧ: 100x + 150y.

Серпасалам тшӧтшкӧс вылын став x да y, кодъяс лӧсялӧны x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 9, x ≤ 3, x ≥ 0 да y ≥ 0 ӧткодьтӧмлунъяслы. Тайӧ мылькъя витпельӧса; сылӧн йывъяс: x = 0, y = 0; x = 0, y = 3; x = 1,5, y = 2,5; x = 3, y = 1; x = 3, y = 0.

Колӧ корсьны витпельӧсасьыс татшӧм чут (x, y), медым 100x + 150y лои медыджыдӧн. Вӧлӧмкӧ, сэтшӧм чутыс быть лоас витпельӧсалӧн йыв. Арталӧм бӧрын аддзам: 100x + 150y лоас медыджыд, кор x = 1,5, y = 2,5. (Серпас вылын сідзжӧ петкӧдлӧма: 100x + 250y > 100∙1,5 + 150∙2,5 ӧткодьтӧмлунлы лӧсялысь (x, y) чутъяс витпельӧсаын оз куйлыны.)

Босьтам нӧшта ӧти видлӧг. Мед пабрик лэдзӧ куим вӧчас (x, y да z единица), кодъяслӧн индӧма доныс – шуам, 70 шайт/ед., 80 шайт/ед. да 110 шайт/ед. Ми бара тӧдам, кымын сырье колӧ видзны быд вӧчас вылӧ да кымын сикас сырье вермам видзны ӧти луннас. Артмас некымын ӧткодьтӧмлун; (x, y, z) чутъяс, кодъяс тайӧ ӧткодьтӧмлунъяслы лӧсялӧны, артмӧдӧны мылькъя унабана куим муртӧса ылдӧсын. Колӧ корсьны тайӧ унабанаысь сэтшӧм (x, y, z) чут, медым 70x + 80y + 110z вӧлі медыджыдӧн. Бара тайӧ чутыс лоӧ унабаналӧн йыв. Позьӧ корсьны став йывсӧ да на пиысь бӧрйыны “медбурӧс”.

Пабрик кӧ лэдзӧ уна вӧчас, ковмас корсьны “медбур” чутсӧ уна муртӧса мылькъя унабанаысь. Сійӧс син водзӧ огӧ нин вермӧй вайӧдны. Таысь кындзи, колӧ кӧ видзны уна сикас сырье, артмӧм унабанаыс урчитсьӧ зэв уна ӧткодьтӧмлун гижӧмӧн; сылысь став йывсӧ корсьны вывті сьӧкыд да вывті дыр.

1939-ӧд воын сӧветскӧй математик Л. В. Канторович йӧзӧдӧма удж, кӧні петкӧдлӧма экономикаысь некымын мог, кодъясӧс позьӧ гижны кыдзи уна муртӧса мылькъя унабанаысь максимум либӧ минимум сетан чутсӧ корсьӧм. Сійӧ жӧ лӧсьӧдӧма “медбур” чутсӧ корсян эффективнӧй ног (унабаналысь став йывъяссӧ оз нин ков корсьны да видлавны).