Майтӧг плёнкаяс йылысь

• кытшвизь — окружность
• тшӧтшкӧс — плоскость
• бергалан веркӧс — поверхность вращения
• веркӧс артмӧдысь — образующая поверхности
• эрд — площадь

Вӧйтам майтӧг гудрасӧ кык кольча, сэсся бӧр перъям. Кольчаясыс кӧ абу вывті ылынӧсь ӧта-мӧдсяньыс, на костын вермас зэвтчыны плёнка. Кутшӧм лоас сылӧн формаыс?

 

Мед кольчаяс-кытшвизьяс куйлӧны параллель тшӧтшкӧсъясын, налӧн шӧрчутъяссӧ йитан веськыд визьыс лоӧ тшӧтшкӧсъясыслы перпендикулярӧн. Симметрия серти позьӧ шуны: плёнкаыс лоас тайӧ перпендикуляр гӧгӧр бергалан веркӧсӧн.

 

Мый сійӧ бергалан веркӧс? Босьтам кутшӧмкӧ тшӧтшкӧсджын. Сылӧн дорыс лоӧ веськыд визь; пасъям сійӧс m шыпасӧн. Гижтам тшӧтшкӧсджынйын кутшӧмкӧ чукля визь; шуам сійӧс веркӧс артмӧдысьӧн. Бергӧдам тшӧтшкӧсджынсӧ m веськыд визь гӧгӧр 360° вылӧ. Чукля визь бергалӧмӧн артмас веркӧс, коді шусьӧ m чӧрс (ось) гӧгӧр бергалан веркӧсӧн.

Медічӧт эрда веркӧс. Физика законъяс серти, плёнкаыс зэвтчас сідзи, медым веркӧсыслӧн лои медічӧт эрдыс (сэки сылӧн энергияыс лоас медічӧтӧн).

Вӧлӧмкӧ, кытшвизьяс-кольчаяс кӧ ӧта-мӧдсяньыс абу вывті ылын, плёнка веркӧсыслӧн артмӧдысь лоас бергалан чӧрслань нюкыльтчӧм чеп визьӧн. Тайӧ бергалан веркӧсыс шусьӧ катеноидӧн.

Кытшвизьясыс кӧ ӧта-мӧдсяньыс ылынӧсь, найӧс катеноидӧн оз позь йитны. Медічӧт эрда веркӧсыс лоас тэчӧма кык кытшысь (кольчаяс пытшкын зэвтчӧм плёнкаясысь).

Тайӧс позьӧ и экспериментысь аддзыны. Босьтам плёнкаӧн йитӧм кык кольча. Пондам найӧс ньӧжйӧника кыскавны ӧта-мӧдсяньыс. Кутшӧмкӧ здукӧ катеноид формаа плёнкаыс орас да кыкнан кольча пытшкас артмас тшӧтшкӧс плёнка.

ЧЕП ВИЗЬ

• петкӧдлан функция — показательная функция
• плюса лыд — положительное число
• бур унапельӧса — правильный многоугольник
• изъяс рӧшкыдмӧм — выветривание горных пород

Ӧшӧдам чеп либӧ гез сылысь кык помсӧ крепитӧмӧн. Кутшӧм лоас сылӧн формаыс?

Медводз шуам кыв-мӧд история йылысь. Галилео Галилей 1638-ӧд воын пасйӧма, ӧшалысь гезйыс пӧ пӧшти парабола кодь (y = cx² функция график кодь). Та вӧсна тшӧкыда гижӧны, Галилей пӧ чайтӧма чеп визьсӧ параболаӧн.

Иоахим Юнг, немеч математик да философ, петкӧдлӧма: тайӧ абу парабола. Сёрӧнджык нин чеп визьлысь стӧч формасӧ тӧдмалӧмаӧсь Г. Лейбниц, К. Гюйгенс да И. Бернулли; сы йылысь 1691-ӧд воын вӧлі йӧзӧдӧма гижӧд Acta Eruditorum журналын.

Гипербола косинус. Водзын ми висьтавлім e лыд да петкӧдлан функцияяс йылысь. Вайӧй артмӧдам e^x да e^‐x функцияясысь со кутшӧм комбинация: (e^x+e^‐x)/2. Сійӧ и шусьӧ гипербола косинусӧн. (Мыйла сідзи шусьӧ, ӧні огӧ кутӧй гӧгӧрвоӧдны, тригонометрия формулаяс ковмас казьтывны да.) Пасйӧны гипербола косинус функциясӧ кыдзи ch x. Графикыс серпас вылын петкӧдлӧма.

Вӧлӧмкӧ, чеп визь формасӧ позьӧ петкӧдлыны гипербола косинус отсӧгӧн. Стӧчджыка кӧ, сійӧ лоӧ горизонтальӧд да вертикальӧд вештӧм y = a∙ch(x/a) функция график, кӧні a — кутшӧмкӧ плюса лыд.

Унапельӧса кӧлесаяс. Позьӧ-ӧ вӧчны сэтшӧм туй, медым квадрата кӧлесаа машина сы кузя шердйысьтӧг ветліс? Вӧлӧмкӧ, позьӧ. Колӧ тэчны сылысь веркӧссӧ кымыньтӧм чеп визь мегыръясысь, кыдзи серпас вылын петкӧдлӧма.

Колана ногӧн чеп визь мегыръяс бӧрйӧмӧн позьӧ и мукӧд бур унапельӧса кӧлесаяслы лӧсялана туй вӧчны (куимпельӧсаысь кындзи).

Аркаяс. Кымыньтӧм чеп визь унаысь паныдасьлӧ архитектураын: шуам, 

Будапештса Keleti вокзал вевт,

 Шеффилдса Тӧвся сад вевт,

Барселонаса Casa Milà керкалӧн вевтувса аркаяс.

Косьтан пачьяслӧн профильыс тшӧкыда жӧ овлӧ кымыньтӧм чеп визь формаа.

Америкаса Юта штатын изъяс рӧшкыдмӧм понда артмӧм аркаяс (Rainbow Natural Bridge, Kolob Arch, Landscape Arch) тшӧтш пӧ кымыньтӧм чеп визьяс кодьӧсь.

Мый сійӧ e лыд?

• эма лыд — натуральное число
  
• петкӧдлан функция — показательная функция
  

 

Сьӧм прӧчентъяс арталӧм. Со ми пуктім банкӧ 1 сюрс шайт. Во помын кӧ банкыс содтӧ 100%, миянлы бӧр сетасны 2 сюрс шайт.

Мый артмас, банкыс кӧ вонас кыкысь прӧчентъяс содтӧ? Стӧчджыка кӧ, во джын мысти кӧ содӧ 50%, а сэсся нӧшта 50% содас (артмӧм суммаысь)? Бӧр сетасны 1,5∙1,5 = 1,5² = 2,25 сюрс шайт.

Мый нӧ артмас, банкыс кӧ вонас n‐ысь прӧчентъяс содтавны кутас? Во n‐ӧд юкӧн мысти артмас 1+1/n сюрс шайт. Сэсся, бара во n‐ӧд юкӧн мысти банкыс содтас 1+1/n шайтысь нӧшта n‐ӧд юкӧн. Артмас (1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайт. Сы бӧрын банкыс бара содтас n‐ӧд юкӧн, ӧні нин (1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайтысь. Артмас (1+1/n)∙(1+1/n)∙(1+1/n) сюрс шайт. Во помын миян лоас (1+1/n)ⁿ сюрс шайт.

Вӧлӧмкӧ, тшӧкыдджыка кӧ прӧчентъяс артавны кутам (гырысьджык n лыд кӧ босьтам), во помын унджык сьӧм воас. Но вывті ыджыд барыш оз ло: вӧлӧмкӧ, n лыдсӧ помтӧг содтӧмӧн воам e ≈ 2,718281828459045... сюрс шайтӧ.

Банк прӧчентъяс арталӧм йылысь гижӧд 1690-ӧд воын йӧзӧдӧма Яков Бернулли, швейцарияса математик.

 

 

Факториалъяс да e лыд. Мед n — кутшӧмкӧ эма лыд; сылӧн факториалӧн шусьӧ 1∙2∙3∙4∙...∙(n − 1)∙n лыд. Сійӧс пасйӧны кыдзи n! (лыддьӧны: n факториал). Шуам, 1! = 1, 2! = 1∙2 = 2, 3! = 1∙2∙3 = 6, 4! = 1∙2∙3∙4 = 24, 5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120, да с.в.

Ӧні вайӧй гижам со кутшӧм суммаяс:

1 + 1/1!;

1 + 1/1! +1/2!;

1 + 1/1! +1/2! + 1/3!;

1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4!;

...

1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!

...

Вӧлӧмкӧ, n лыдсӧ помтӧг ыдждӧдӧмӧн бара воам e лыдӧ. (Кӧсъянныд кӧ, компьютер либӧ калькулятор отсӧгӧн арталӧй тайӧ суммаяссӧ да аддзанныд, кыдзи найӧ вочасӧн матыстчӧны 2,718281828459045... лыд дорӧ.)

Петкӧдлан функция, чут координата да ӧд. Школаысь ми тӧдмалім петкӧдлан функция йылысь. Сетӧма кӧ кутшӧмкӧ плюса a лыд, быд x лыдлы сійӧ сетӧ f(x) = a^x лыдсӧ; a лыдыс кӧ 1-ысь гырысьджык, петкӧдлан функцияыслӧн со кутшӧм график (серпас вылас куим график: a = 1,5; a = 2; a = 3 лыдъяслы):

Вӧлӧмкӧ, a кӧ лоӧ e, тайӧ функцияыслӧн эм интереснӧй аслыспӧлӧслун. Мед чут мунӧ веськыд визьӧд да быд t кад здукӧ сылӧн координатаыс лоӧ e^t. Вӧлӧмкӧ, быд t кад здукӧ и ӧдыс лоӧ e^t. Тайӧ аслыссикаслун понда e лыд математикъяслы да физикъяслы зэв ёна колана.

Кыдзи оригами ногӧн ыдждӧдны куб кык пӧв

• веськыдсэрӧг – прямоугольник
• вундӧг – отрезок
• ӧтсяма куимпельӧсаяс – подобные треугольники
  

Оригами ногӧн позьӧ вӧчны кык вундӧг, кодъяс лӧсялӧны ³√2 да 1 моз. Та вӧсна позьӧ и куб кык пӧв ыдждӧдны.

Артмӧдны татшӧм кык вундӧг вӧзйӧма Питер Месснер Crux Mathematicorum журналын 1985-ӧд воын (гижӧма лыддьысьысьяслы задача пыдди). А мыйла буретш тадзи колӧ вӧчны, вӧлі гӧгӧрвоӧдӧма сёрӧнджык, 1986-ӧд воын.

1. Гижтам ABCD квадрат да юклам сійӧс ӧткодь куим веськыдсэрӧг вылӧ: ADQP, PQSR да RSCB.

2. Кабаласӧ кусыньтам сідзи, медым C чут веськаліс AB дор вылӧ, а S чут лоис PQ вундӧг вылын (Фудзиталӧн 6-ӧд аксиома серти).

Вӧлӧмкӧ, AC : BC = ³√2.

Дзоньнас подулалӧмсӧ ог вайӧд, сӧмын идеясӧ петкӧдла.

Казялам: SPC да CBT куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь кык пельӧс серти (∠CTB = 90° – ∠TCB = ∠SCP). Сідзкӧ, CS : PC = CT : BT.

Мед CB = 1, AC = x, BT = y. Сідзкӧ, CT = 1 + x – y, CS = (1 + x)/3, CP = (2x – 1)/3. Та вӧсна артмӧ пропорция: 

(1 + x) : (2x – 1) = (1 + x – y) : y.

Пифагор теорема серти, 1 + y² = (1 + x – y)². Медбӧръя кык ӧткодьлунысь позьӧ петкӧдны: x³ = 2.

Кыдзи ыдждӧдны куб кык пӧв

• йӧрыш – объём
• вундӧг – отрезок
• куимпельӧса – треугольник
• визьньӧв – луч

Тайӧ мог йывсьыс со кутшӧм легенда кольӧма. Чума дырйи Афинаын олысьяс юалӧмаӧсь Дельфойса оракуллысь, кыдзи мынны тайӧ приччасьыс. Ен тшӧктӧма налы алтарсӧ кык пӧв ыдждӧдны да вись (жертва) вайны. Алтарыс вӧлі куб кодь да, афинысаяс лӧсьӧдӧмаӧсь сэтшӧм жӧ куб да пуктӧмаӧсь алтар вылас. Сӧмын пӧрӧсыс эз быр. Сэсся найӧ Платон дорӧ шыӧдчӧмаӧсь. Сійӧ шуӧма, Ен пӧ скӧрмӧ тіян вылӧ геометрия тӧдтӧмлунсьыныд, колӧ пӧ вӧчны алтарсӧ куб мыгӧраӧн. Афинысаяс тайӧс вӧчӧмаӧсь да сӧмын сы бӧрын чумаыд бырӧма.

Збыльысь кӧ, тайӧ мог йывсьыс водзынджык тӧдлӧмаӧсь — сы йылысь Хиосса Гиппократ на мӧвпалӧма.

Кыдзи нӧ позьӧ кубсӧ кык пӧв ыдждӧны?

Кублӧн кӧ дорыс a кузьта, сылӧн йӧрышыс лоӧ a³. Колӧ артмӧдны 2a³ йӧрыша куб. Сылӧн дорыс ³√2a ыджда. Сідзкӧ, сетӧма кӧ a кузьта вундӧг, колӧ артмӧдны ³√2a кузьта вундӧг.

Позьӧ-ӧ татшӧм вундӧгсӧ циркульӧн да линейкаӧн артмӧдны? Вӧлӧмкӧ, оз. Тайӧс 1837-ӧд воын петкӧдлӧма Пьер Ванцель. (Ми гаравлім нин сылысь нимсӧ пельӧс трисектриса йылысь гижигӧн.)

А со кутшӧм ногӧн вундӧгсӧ ³√2 пӧв ыдждӧдлӧма Исаак Ньютон. Мед сетӧма a кузьта вундӧг.

1. Линейка вылас G, H чутъяс пасъям сідзи, медым GH = a.

2. Артмӧдам a кузьта доръяса ABC куимпельӧса.

3. Нюжӧдам AB да BC вундӧгъяссӧ веськыд визьясӧдз.

4. AB веськыд визь вылӧ пуктам D чутсӧ сідз, медым B куйліс A да D костын, AB = BD.

5. D да C чутъяс пыр веськыд визь нуӧдам.

6. Линейкасӧ пуктам сідз, медым сійӧ муніс A чут пыр, H чут куйліс BC визьньӧв вылын, а G куйліс A да H костын, DC визьньӧв вылын.

Вӧлӧмкӧ, AG = ³√2a.

Математика тӧдысьяслы инда, кыдзи тайӧс аддзыны. Шуам, a = 1. Мед AG = x, HC = z. Менелай теорема серти, 

(AG : GH)∙(HC : BC)∙(BD : DA) = 1, 

кытысь артмас xz = 2. Сэсся ABH куимпельӧсалы косинусъяс йылысь теоремасӧ гижам. Артмӧдам: x² + 2x = z² + z. Сідзкӧ, z⁴ + z³ – 4z – 4 = 0, кытысь z = –1 либӧ z = ³√4. Минуса лыд миянлы оз лӧсяв. Та вӧсна z = ³√4, x = ³√2.

Кыдзи оригами ногӧн артмӧдны пельӧс трисектриса?

• вундӧг — отрезок
• ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники

Сы йылысь, кыдзи йитӧма оригамиыс геометриякӧд, миян некымын гижӧд нин вӧлі. Сэтысь ми тӧдмалім: Фудзиталӧн медводдза вит аксиома отсӧгӧн позьӧ артмӧдны ставсӧ, мый вӧчӧны циркульӧн да линейкаӧн. А ӧні квайтӧд аксиома. Вӧлӧмкӧ, кутам кӧ вӧдитчыны сыӧн, вермам пельӧс трисектриса артмӧдны (циркуль да линейка кежысь сійӧс гижтыны он вермы).

Вайӧй петкӧдлам, кыдзи ёсь пельӧссӧ куим пельӧ юклыны (Хисаси Абэ ногӧн).

Сетӧма CAB пельӧс.

1. A чут пыр нуӧдам AB дорлы перпендикуляр (пасъям сійӧс AP).

2. AP вундӧгсӧ юклам шӧрипӧв (Q шыпасӧн пасъям шӧр чутсӧ).

3. Q чут пыр нуӧдам AB-лы параллель ногӧн QL веськыд визь.

4. Кабаласӧ кусыньтам сідз, медым P чут веськаліс AC веськыд визь вылӧ да A чут веськаліс QL веськыд визь вылӧ (P усяс P’ чутӧ, A усяс A’ чутӧ). Тайӧс позьӧ вӧчны Фудзиталӧн квайтӧд аксиома серти.

Вӧлӧмкӧ, ∠A’AB = ⅓∠CAB.

Подулалам сійӧс. Мед Q чут веськалӧ Q’ чутӧ. Q чут лоӧ AP вундӧглы шӧрӧн; симметрия вӧсна P’Q’ = A’Q’. Нӧшта A’Q лоӧ AP-лань перпендикуляр. Сідзкӧ, AQ’ лоӧ A’P’-лань перпендикуляр (бара симметрия вӧсна). Миян артмӧ: AP’Q’ да AA’Q’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти.

Мед A’R лоӧ AB-лань перпендикуляр. Сідзкӧ, A’R = QA = Q’A’. Та вӧсна AA’Q’ да AA’R куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти.

Сідзкӧ, ∆AP’Q’ = ∆AA’Q’ = ∆AA’R, кытысь артмӧ: ∠CAQ’ = ∠Q’AA’ = ∠A’AR.

Мый позьӧ артмӧдны Фудзиталӧн медводдза вит аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн – 2

• куимпельӧса – треугольник
• вундӧг – отрезок
• кытшвизь – окружность
• судта – высота

Позьӧ-ӧ медводдза вит аксиома кежысь артмӧдны индӧм a, b да c доръяса куимпельӧса? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.

Медводз со мый пасъям. Шуам, a – куимпельӧсалӧн медыджыд дорыс. Сэки сы бердса кыкнан пельӧсыс ёсьӧсь. Куимпельӧсаын a дорланьыс нуӧдӧм судтаыс юклӧ тайӧ дорсӧ x да a – x кузьта вундӧгъяс вылӧ.

Артмӧдам x кузьта вундӧгсӧ. Пифагор теоремаысь позьӧ петкӧдны: x = a/2 + b²/2a – c²/2a. Медводдза нёль аксиоманас вӧдитчӧмӧн позьӧ содтавны, чинтавны да шӧри юклавны вундӧгъяссӧ. Сідзкӧ, миянлы колис лӧсьӧдны b²/a да c²/a кузьта вундӧгъяс.

Мед y = b²/a. Сэки y : b = b : a, либӧ a : b = b : y; пропорциялы вундӧг корсьны ми кужам нин да, y-сӧ артмӧдам. Сэтшӧм жӧ ногӧн c²/a кузьта вундӧг вӧчам.

Сідзкӧ, сетӧма a, b да c вундӧгъяс. Медводз b-лысь помсӧ a-лӧн помӧ пуктам (2-ӧд аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн). Сэсся лӧсьӧдам x вундӧгсӧ да пуктам сійӧс a вундӧг вылӧ, кыдзи серпасас петкӧдлӧма.

Артмӧм D чут пыр a визьлы h перпендикуляр нуӧдам (4-ӧд аксиома серти). Сы бӧрын кабаласӧ кусыньтам сідзи, медым E чут h визьӧ веськаліс да кусыньтанін B чут пыр муніс (5-ӧд аксиома серти).

C да F чутъяс пыр веськыд визь нуӧдам. Корсян куимпельӧсаыс лӧсьӧдӧма.

Сідзкӧ, куимпельӧсасӧ позьӧ лӧсьӧдны куим дор сертиыс. Та вӧсна, сетӧма кӧ кык кытшвизьлысь шӧрчутъясыс да радиусъясыс, Фудзиталӧн медводдза вит аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн позьӧ налысь вомӧнасян чутъяссӧ корсьны. Таысь кындзи, ми вермам индӧм кытшвизьлысь да веськыд визьлысь вомӧнасянін корсьны да кык чут пыр веськыд визь нуӧдны. Мӧд ног кӧ шуны, позьӧ артмӧдны ставсӧ, мый вӧчӧны циркульӧн да линейкаӧн отсӧгӧн (кытшвизьяс гижталӧмысь кындзи).

Мый позьӧ артмӧдны Фудзиталӧн медводдза вит аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн – 1

• бур унапельӧса – правильный многоугольник
• вундӧг – отрезок
• кытшвизь – окружность
• веськыдпельӧса куимсэрӧг – прямоугольный треугольник

Ми висьталім нин: Фудзиталӧн медводдза нёль аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн позьӧ артмӧдны бур куим-, нёль-, вит-, квайт- да кӧкъямыспельӧса, пропорциялы вундӧг корсьны. Таысь кындзи, позьӧ артмӧдны куимпельӧса, сетӧма кӧ сылысь кык дор да на костса пельӧс, либӧ ӧти дор да сы бердса кык пельӧс.

Ӧні петкӧдлам, мый миянлы сетас витӧд аксиомаыс. Медводз казьтыштам да гӧгӧрвоӧдам сійӧс.

Сетӧма A да B чутъяс да k веськыд визь. Витӧд аксиома серти, кабаласӧ позьӧ кусыньтны сідзи, медым A чутыс k визяс веськаліс (серпас вылас сійӧ веськалӧ C чутӧ), а кусыньтанін B чут пыр муніс. Кусыньтанін лоӧ AC вундӧглы шӧр перпендикуляр, та вӧсна AB = BC.

B шӧрчута да AB радиуса кытшвизьсӧ пасъям w-ӧн. Миян артмӧ: C чутыс лоӧ k веськыд визь да w кытшвизь вомӧнасянін.

Дерт, витӧд аксиомасӧ колӧ стӧчмӧдны: колана кусыньтӧм эм сӧмын сэк, кор веськыд визьыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд; веськыд визьыс кӧ кытшвизьыскӧд вомӧнасьӧ кык чутын, кабаласӧ кык ногӧн позьӧ кусыньтны.

Сідзкӧ, витӧд аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн позьӧ корсьны индӧм кытшвизьлысь да веськыд визьлысь вомӧнасян чутсӧ. Та вӧсна веськыдпельӧса куимсэрӧгсӧ сетӧм катет да гипотенуза серти лӧсьӧдны абу сьӧкыд. Петкӧдлам, кыдзи вӧчны сійӧс. Мед a – катет кузьта вундӧг, c – гипотенуза кузьта вундӧг.

1. c вундӧглысь ӧти помсӧ a помӧ пуктам (2-ӧд аксиома серти).

2. a вундӧглӧн мӧд пом пырыс h перпендикуляр нуӧдам (4-ӧд аксиома серти).

3. кабаласӧ кусыньтам сідзи, медым A чут h-ӧ веськаліс да кусыньтанін B чут пыр муніс (5-ӧд аксиома серти); серпас вылас A чут C чутӧ веськалӧ. Сэсся B да C чутъяс пыр веськыд визь нуӧдам. KBC – колана куимсэрӧгыс.

Подув да боквыв дор сертиыс пӧшти сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдӧны и ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, вит аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн ӧткодь доръяса куимпельӧса позьӧ вӧчны Пифагор теоремасӧ казьтывтӧг.

Мый нӧшта позьӧ артмӧдны Фудзиталӧн медводдза нёль аксиомаӧн вӧдитчӧмӧн?

• ӧткодь доръяса куимпельӧса – равносторонний треугольник
• бур унапельӧса – правильный многоугольник
• вундӧг – отрезок

Ӧнтай ми оригами ногӧн артмӧдлім квадрат да ӧткодь доръяса куимпельӧса. Колӧ пасйыны: вӧдитчим ми сӧмын Фудзиталӧн медводдза нёль аксиомаӧн. (Витӧд аксиома йылысь коркӧ мӧдысь висьтала на. Сы отсӧгӧн бур куимпельӧса вӧчны кокньыдджык.)

Лӧсьӧдім кӧ квадрат да ӧткодь доръяса куимпельӧса – та бӧрын бур квайтпельӧса да бур кӧкъямыспельӧса артмӧдны абу нин сьӧкыд.

Дай бур витпельӧса тшӧтш позьӧ лӧсьӧдны куш нёль аксиоманас вӧдитчӧмӧн.

Тайӧ этша на. Нёль аксиома кежысь позьӧ оз сӧмын бур унапельӧсаяссӧ артмӧдны, а и пропорциялы вундӧг корсьны. Петкӧдлам, кыдзи вӧчны тайӧс.

Тшӧтшкӧс вылын куим вундӧг гижтӧма: a, b, c. Колӧ артмӧдны нёльӧд вундӧг (пасъям сійӧс x-ӧн), медым a : b = c : x.

1. Кабаласӧ кусыньтӧмӧн артмӧдам кутшӧмкӧ пельӧс (серпасас сійӧ сьӧд рӧмӧн гижтӧма). 

Пельӧс йылас пуктам a, b да c-лысь ӧти помнысӧ (тайӧс позьӧ вӧчны кабала кусыньтӧмӧн жӧ, 2-ӧд аксиома серти). Артмасны a’ = a, b’ = b, c’ = c вундӧгъяс.

2. a’ да b’ вундӧгъяссӧ ӧти пельӧс дор вылӧ пуктам, c’ вундӧгсӧ – мӧд дор вылас (3-ӧд аксиома серти).

Артмӧ: OA = a, OB = b, OC = c.

3. A да C чутъяс пыр веськыд визь нуӧдам (1-ӧд аксиома серти). Сэсся B чут пыр AC-лы перпендикуляр гижтам (4-ӧд аксиома серти). Пасъям сійӧс k-ӧн. Сы бӧрын B чут пыр k-лы перпендикуляр нуӧдам (пасъям сійӧс m-ӧн). Миян артмӧ: m да AC – параллель нога визьяс.

OC да m вомӧнасьӧны D чутын. Фалес теорема серти, OA : OB = OC : OD, либӧ a : b = c : OD.

Со корсянторыс и сюрӧма.