Унабана йылысь Эйлер теорема – 2

унапельӧса – многоугольник

вундӧг – отрезок

йыв – вершина

висьталӧм – утверждение

Воддза гижӧдас ми вӧчим мылькъя унабанаысь тшӧтшкӧс фигура. Унабаналӧн кӧ b бан, j йыв да d дорыш, артмӧм фигураын b – 1 унапельӧса, j йыв да d вундӧг. Став унапельӧсасӧ позьӧ вӧчны мылькъяӧн. Сідзкӧ, Эйлер теорема петӧ водзӧ висьталӧмысь.

Висьталӧм. Мед унапельӧсасӧ юклӧма u мылькъя унапельӧса вылӧ; тайӧ фигураын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Сэки u + j – v = 1.

Эскӧдӧм идеяыс татшӧм. Ми некымынысь содтам либӧ чышкам вундӧгъяс да йывъяс сідзи, медым u + j – v лыд эз вежсьы, да бӧръяпомыс миян артмас ӧти куимпельӧса.

Куимпельӧсаяс вылӧ юклӧм. Босьтам ӧти унапельӧса да нуӧдам сылысь кутшӧмкӧ диагональ. Воддза серпасын кӧ вӧлі u = m, j = n, v = k, выль серпасын лоас u = m + 1, j = n да v = k + 1.

Сідзкӧ, выль серпасын 

u + j – v = (m + 1) + n – (k + 1) = m + n – k. 

Та вӧсна диагональ нуӧдӧм бӧрын u + j – v лыд оз вежсьы.

Диагональяс нуӧдігӧн став унапельӧсасӧ юклам некымын куимпельӧса вылӧ.

Куимпельӧса чышкалӧм. Мед унапельӧса юклӧма u куимпельӧса вылӧ; тайӧ серпасын ставыс лоӧ v вундӧг да j йыв. Миянлы колӧ петкӧдлыны: u + j – v = 1.

Босьтам куимпельӧса, кодлӧн кӧть ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас, да чышкам сійӧс. Мыйла u + j – v оз вежсьы?

Мед u = m, j = n, v = k. Видлам кык ног.

1) Чышкӧм куимпельӧсаыслӧн кык дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса, ӧти йыв да кык дор; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + (n – 1) – (k – 2) = m + n – k.

2) Чышкӧм куимпельӧсалӧн сӧмын ӧти дор оз куйлы унапельӧса пытшкас. Сэки ми чышкам ӧти куимпельӧса да ӧти вундӧг; выль серпасын 

u + j – v = (m – 1) + n – (k – 1) = m + n – k.

Куимпельӧсаяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн чышкалам да бӧръяпомыс миян коляс ӧти куимпельӧса.

Лоас u = 1, j = 3, v = 3, та вӧсна u + j – v = 1 + 3 – 3 = 1. Тайӧн эскӧдӧмсӧ сигӧртам.

Мый лоас, унабана кӧ абу мылькъя?

Мед унабана абу мылькъя, но сылӧн веркӧсыс “сфера сяма”: нюжӧдӧмӧн да топӧдӧмӧн (но орйӧдлытӧг да лемавтӧг) сыысь позьӧ вӧчны сфера. Вӧлӧмкӧ, сэки Эйлер теорема лӧсялӧ.

Веркӧсыс кӧ абу “сфера сяма” (шуам, сійӧ ӧшинь рама кодь), теорема торксьӧ.

PS Ыджыд аттьӧ бур йӧзлы отсӧгысь!

Унабана йылысь Эйлер теорема – 1

мылькъя унабана – выпуклый многогранник

бан – грань

дорыш – ребро

йыв – вершина

видлӧг – пример

тшӧтшкӧс – плоскость, плоский

Эйлер теорема. Мед мылькъя унабаналӧн b бан, d дорыш да j йыв. Сэки b + j – d = 2.

Медводз петкӧдлам некымын видлӧг.

Тетраэдрлӧн 4 бан, 4 йыв, 6 дорыш; b + j – d = 4 + 4 – 6 = 2.

Кублӧн 6 бан, 8 йыв, 12 дорыш; b + j – d = 6 + 8 – 12 = 2.

Витпельӧса пирамидалӧн 6 бан, 6 йыв, 10 дорыш; 

b + j – d = 6 + 6 – 10 = 2.

Квайтпельӧса призмалӧн 8 бан, 12 йыв, 18 дорыш; 

b + j – d = 8 + 12 – 18 = 2.

Октаэдрлӧн 8 бан, 6 йыв, 12 дорыш; b + j – d = 8 + 6 – 12 = 2.

Эйлер эскӧдӧмын тыдовтчисны тырмытӧмторъяс. Колана ногӧн теоремасӧ вермис подулавны прансуз Огюстен Луи Коши. Математиклӧн шӧр мӧвпыс вӧлі татшӧм.

Унабанасӧ “лямӧдам” либӧ “нюжӧдам” да видзӧдлам “артмӧм” тшӧтшкӧс серпас. Думыштам, мый унабанасӧ вӧчӧма резинаысь да быд дорышті ручкаӧн нуӧдӧма визь. Ӧти бансӧ вундам, а кольӧм веркӧссӧ нюжӧдам сідзи, медым сійӧ лои тшӧтшкӧсӧн да быд чертитӧм визь лои вундӧгӧн.

Петкӧдлам некымын видлӧг.

Мед унабаналӧн эм b бан, d дорыш да j йыв. Тшӧтшкӧс серпас вылын лоӧ b – 1 унапельӧса, d вундӧг да j йыв. (Ӧти бан ми вундім, а йыв-дорышсӧ колим.) Сідзкӧ, миянлы колӧ петкӧдлыны: 

(b – 1) + d – j = 1.

Кыдзи тайӧс вӧчны, висьталам водзӧ гижӧдас.

Кымын витпельӧса вермӧ лоны фуллерен молекулаын?

бур унапельӧса – правильный многоугольник 
мылькъя унабана – выпуклый многогранник 
бан – грань 
дорыш – ребро (у многогранника) 
вундӧг – отрезок 
вомӧнасьны – пересекаться
кык бан вомӧнасян вундӧг – отрезок, по которому пересекаются две грани
эскӧдӧм – доказательство 

Фуллерен молекула тэчӧма углерод атомысь. Структура формулаыс бур витпельӧсаысь да квайтпельӧсаысь тэчӧм унабана. Медся тӧдса фуллерен молекулаыс футбол мач кодь. Сылӧн 60 углерод атом, 12 витпельӧса да 20 квайтпельӧса. 

Эм и мукӧд фуллерен: шуам, C70, C540. 

Вӧлӧмкӧ, быд фуллерен молекулалӧн вермӧ лоны сӧмын 12 витпельӧса. Тайӧ петӧ Эйлер теоремаысь: 
мылькъя унабаналӧн кӧ b бан, d дорыш да j йыв, сэки 

b + j – d = 2. 

Эскӧдӧм. Мед молекулаын v витпельӧса да k квайтпельӧса. Сэки сылӧн b = v + k бан. 

Фуллеренлысь структура формуласӧ петкӧдлысь унабаналӧн дорышыс лоӧ кык бан вомӧнасян вундӧгӧн. Торйӧдам унабаналысь веркӧссӧ банъяс вылӧ (v витпельӧса да k квайтпельӧса). Быд дорыш юксяс кык вундӧг вылӧ (ставнас d дорыш). Та вӧсна артмӧм унапельӧсалӧн ставыс лоӧ 2d дор. Мӧдарсянь, v витпельӧсалӧн да k квайтпельӧсалӧн ставыс 5v + 6k дор. Сідзкӧ, 2d = 5v + 6k, либӧ d = (5v + 6k)/2. 

Унабанаыслӧн быд йыв лоӧ куим бан вомӧнасян чутӧн (нёль либӧ унджык бан вомӧнасьны оз нин вермыны). Веркӧссӧ банъяс вылӧ торйӧдігӧн быд йыв артмӧдас нин куим чут. Унабанаыслӧн j йыв, та вӧсна артмӧм унапельӧсалӧн ставыс лоӧ 3j йыв. Мӧдарсянь, v витпельӧсалӧн да k квайтпельӧсалӧн ставыс 5v + 6k йыв. Та вӧсна 3j = 5v + 6k, либӧ j = (5v + 6k)/3. 

Эйлер теорема серти, 

2 = b + j – d = v + k + (5v + 6k)/3 – (5v + 6k)/2 

= v + k + 5v/3 + 6k/3 – 5v/2 – 6k/2 

= v + 5v/3 – 5v/2 = v/6. 

Сідзкӧ, v/6 = 2, кытысь v = 12.

Релятивизм теория йылысь кыв-мӧд

Ыджыд массаа чутӧ гравитация закон серти усьӧ мӧд чут, сы вылын пукалӧ видзӧдысь (наблюдатель). Тайӧ усьӧмыс бӧрся видзӧдӧ вӧрзьӧдчытӧм морт. Мый вермисны эськӧ шуны видзӧдысьясыс ӧта-мӧдыслы? (Гӧгӧрвоӧда улынджык.)

Вӧрзьӧдчытӧм видзӧдысь:

Шарлань матыстчан —

Сы пытшкас

Некор он пыр.

Усьны веркӧсас

Ковмас тэд

Помтӧма дыр.

Усьысь видзӧдысь:

Ме нин шар пытшкас.

Регыдӧн

Шӧрӧдзыс воа.

Кытчӧ веськала сэсся?

...А кадыс сэн лоас?

 

Со кутшӧм кад парадокс артмӧ!

Гӧгӧрвоӧда. Релятивизм теория серти, сьӧкыд чутсӧ гӧгӧртӧма аслыспӧлӧс сфераӧн. Сiйӧ шусьӧ лоӧмтор вӧртасӧн (горизонт событий). Вӧрзьӧдчытӧм видзӧдысь аддзӧ: усьысь чутыс некор тайӧ сфера пытшкас оз пыр, лоӧмтор вӧртасас помтӧма дыр усяс. А усьысь видзӧдысь аддзӧ: сфера пытшкас сійӧ пырӧ пома кадӧн (за конечное время); сыысь унджык, сфера шӧрӧдзыс воас пома кадӧн! А мый лоас сэсся, кытчӧ усьысь чутыс веськалас да позяс-ӧ видзӧдысьыс кад урчитны (гашкӧ, и “сэсся” кыв лӧсявтӧм?), наука нинӧм оз шу.

Но тайӧ, дерт, идеальнӧй модель: масса оз вермы куйлыны ӧти чутын.

ВОРСАНТОРЪЯС ЛӦСЬӦДӦМ – 5: ӦТМОЗ ТЕМПЕРИРУЙТӦМ ТЭЧАС (пом)

ӧтмоз темперируйтӧм тэчас – равномерно темперированный строй

сӧстӧм тэчас – чистый строй

тэрыблун – частота

тэрыблунъяс лӧсялӧны ... моз – частоты относятся как...

тшуппас – степень

12 тшуппаса вуж 2-сьыс – корень 12-й степени из 2

1519-ӧд воын Адриан Вилларт, енбиа фламандияса композитор да велӧдысь, гижис зэв дзуг шылада сьылан композиция – “Quid non Ebrietas”. Некутшӧм тӧдса шылад тэчас сылы эз лӧсяв. Вилларт ачыс вӧзйис выль тэчассӧ – ӧтмоз темперируйтӧм.

Тайӧ кадӧ улыс да вылыс до костын октава вӧлі юклӧма дас кык интервал вылӧ (фортепиано клавиатураын моз). Тайӧ юклӧмыс артмӧма татшӧм нотаясӧн: до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез, си, до. 

Ӧтмоз темперируйтӧм тэчасын орчча нотаяслӧн тэрыблунъясыс лӧсялӧны ӧткодя: улыс “до”-лӧн да “до-диез”-лӧн кӧ тэрыблунъясыс x Гц да q·x Гц, сэки “ре”-лӧн тэрыблуныс лоас q·q·x = q²x Гц, “ре-диез”-лӧн тэрыблуныс лоас q·q²x = q³x Гц, “ми”-лӧн тэрыблуныс лоас q·q³x = q⁴x Гц да сідз водзӧ. Бӧрвылас миян артмас: вылыс “до”-лӧн тэрыблуныс лоас q¹²x Гц. Мӧдарсянь, вылыс да улыс “до” костын интервал – октава, сы вӧсна вылыс “до”-лӧн тэрыблуныс 2x Гц. Сідзкӧ q¹² = 2 да q лоас 12 тшуппаса вужйӧн 2-сьыс: q ≈ 1,059463094.

Мыйӧн бур тайӧ тэчасыс? Ворсам кутшӧмкӧ шылад. Сэсся став нотаяссӧ вештам ӧткодь интервалъяс вылӧ либӧ улӧ да выльысь ворсам (тайӧ шусьӧ транспонируйтӧмӧн). Артмӧм шыладыс юргас сідзи жӧ, сӧмын быттьӧ сійӧс дзоньнас вештӧмаӧсь вылӧ либӧ улӧ.

Кыдзи лӧсялӧны нотаяслӧн тэрыблунъяс квартаын, квинтаын да терцияясын? Кварта – тайӧ улыс “до” да “фа” костын интервал . Налӧн тэрыблунъясыс x Гц да q⁵x Гц. Сідзкӧ найӧ лӧсялӧны q⁵ ≈ 1,334839854 моз (сӧстӧм тэчасын 4:3 ≈ 1,333333333 моз). Тадзи жӧ артмӧдам и мукӧдыслы: квинта нотаяслӧн тэрыблунъясыс лӧсялӧны q⁷ ≈ 1,498307077 моз (сӧстӧм тэчасын 3:2 = 1,5 моз); ыджыд терциялӧн – q⁴ ≈ 1,25992105 моз (сӧстӧм тэчасын 5:4 = 1,25 моз); ичӧт терциялӧн – q³ ≈ 1,189207115 моз (сӧстӧм тэчасын 6:5 = 1,2 моз). Позьӧ казявны: артмӧм интервалъяс дӧза матынӧсь сӧстӧм тэчаслӧн интервалъяс дінӧ. Збыльысь, прӧстӧй кывзысьлы найӧ кажитчӧны мичаӧн.

XVIII-ӧд нэмын ӧтмоз темперируйтӧм тэчас вӧсна сулаліс прансуз композитор Жан-Филипп Рамо. Шылад сэки ёна сӧвмӧма да, тайӧ тэчасыс лоис медбурӧн.

ВОРСАНТОРЪЯС ЛӦСЬӦДӦМ – 4: МУКӦД ГАММА ТЭЧАСЪЯС

Воддза гижӧдысь ми аддзим: ворсанторсӧ кӧ лӧсьӧдны Пифагор тэчас сертиыс, куима шыяс омӧля артмасны. Сідзкӧ, XV-ӧд нэмын европаса шыладлы сійӧ эз нин шогмы. Та понда шылад туялысьяс босьтчӧмаӧсь бӧрйыны бурджык гамма тэчас.

1482-ӧд воын Бартоломео Рамос де Пареха, испанияса теоретик, вӧзйӧма сӧстӧм тэчассӧ. До мажор гаммалы сійӧс артмӧдӧны со кыдзи. Вылыс да улыс “до” нотаяслӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 2:1 моз. Сэсся лӧсьӧдам “соль”, “фа” да “ре” нотаяссӧ Пифагор тэчас сертиыс: “соль” да улыс “до”-лӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 3:2 моз, “фа” да улыс “до”-лӧн – 4:3 моз, “соль” да “ре”-лӧн – 4:3 моз. Мукӧд шыяссӧ ми лӧсьӧдам ыджыд терцияясӧн вӧдитчӧмӧн: “ми” да улыс “до”-лӧн, “ля” да “фа”-лӧн, “си” да “соль”-лӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 5:4 моз. Сэки бура артмӧны “до – ми – соль”, “ми – соль – си” да “фа – ля – до” куима шыяс. Тшӧтшкӧ “ре – фа – ля” куима шыыс оз артмы, “фа” да “ре” нотаяслӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны Пифагор тэчасын моз.

Рамослӧн тэчасыс эзджык отсав шылад ворсысьяслы да, найӧ лӧсьӧдӧмаӧсь ворсанторъяснысӧ мӧд ногӧн. Органлысь трубаяс дженьдӧдыштӧмӧн позьӧ вежны квинтаяс сідзи, медым шылад кывзысьяс тайӧс эз казявны. Шуам, шӧр тона тэчасыс артмӧдӧма сэтшӧм жӧ ногӧн, кыдзи вӧчӧны Пифагор тэчассӧ, но “стӧч” квинта пыдди босьтам неуна дженьыдджык интервал; квинтаыс дженьдӧдыштӧма сідзи, медым артмӧдӧм “ми” да улыс “до” костын лои стӧч ыджыд терция (мӧд ногӧн кӧ, нотаясыслӧн тэрыблунъяс лӧсялісны 5:4 моз). Тырмытӧмторъяс тайӧ тэчасыслӧн эрдӧдчасны сьӧд клавишъяслы шыяссӧ лӧсьӧдігӧн.

XV – XVI нэмъясын вӧлі вӧзйӧма некымын сё гамма тэчас. Тшӧкыда композиторъяс найӧс артмӧдӧмаӧсь лӧсьӧдӧм шыладъяс сертиныс.

PS Менсьым гижӧдӧс редактируйтіс Ирма Карманова

ВОРСАНТОРЪЯС ЛӦСЬӦДӦМ – 3: КУИМА ШЫ

XV-ӧд нэм помын шылад туялысь Иоанн Тинкторис аслас гижӧдын вӧлі пасйӧма шыяслӧн выль ӧтлаасьӧмъяс (терцияяс) йылысь. Наӧн тшӧкыда вӧдитчӧмаӧсь Англияса шылад тэчысьяс (композиторъяс). Петӧмаӧсь терцияясыс йӧзкостса шыладысь.

Эм кык терция сикас: ыджыд терция да ичӧт терция. Ыджыд терцияын нотаяслӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 5:4 моз, ичӧт терцияын – 6:5 моз.

Каям “до”-сянь ыджыд терция мында вылӧ, артмӧм нотасянь бара каям ичӧт терция мында вылӧ. Сэки миян артмас “соль” (а ыджыд да ичӧт терцияяс ӧтлаалӧны квинтаӧ): “до”-лӧн тэрыблуныс кӧ x Гц, мӧд ноталӧн тэрыблуныс 5x/4 Гц, а коймӧдыслӧн (6/5)·(5x/4) = 3x/2 Гц.

Кор тайӧ лӧсьӧдӧм куим шы ӧтпырйӧн юргӧны, артмӧ аккорд – ыджыд куима шы.

Кайны кӧ медводз ичӧт терция мында вылӧ, а сэсся ыджыд терция мында вылӧ, бара артмас квинта. Тайӧ шыяссьыс лӧсьӧдӧм аккорд шусьӧ ичӧт куима шыӧн.

Ми тӧдам: Пифагор тэчасын “ре” да “до”-лӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 9:8 моз, сідзи жӧ лӧсялӧны “ми” да “ре”-лӧн тэрыблунъяс. Сідзкӧ, “ми” да “до” лӧсялӧны (9:8)·(9:8) = 81:64 моз. Тайӧ пӧшти (но абу стӧч) 5:4 = 80:64.

Со миян и артмис мытшӧд: кыдзи колана ногӧн лӧсьӧдны “ми” нотасӧ? Тадзи, медым “до – ми – соль” нотаяс ӧтпырйӧн мичаа юргисны, али Пифагор тэчас серти, али кутшӧмкӧ коймӧд ногӧн? Кыдзи мукӧд нотасӧ лӧсьӧдны?

Шылад ворсысьяслы ковмис корсьны ӧти кывйӧ воӧм (компромиссъяс). Та йылысь ме висьтала мӧдысь.

PS Менсьым текст редактируйтіс Сергей Елфимов.