Нёльӧд тшупӧда ӧткодьлунлӧн вужлы формула

• ӧткодьлун — уравнение
• тшупӧд — степень
• вуж — корень
• лыдмӧдны — умножить
  

Водзын ми висьтавлім коймӧд тшупӧда (куба) ӧткодьлун йылысь. 16-ӧд нэмын Сципионе дель Ферро да Тарталья лӧсьӧдӧмаӧсь сылысь вуж корсян метод (ӧнія ногӧн кӧ шуны, формула).

Ӧні висьталам нёльӧд тшупӧда ӧткодьлун йылысь: 

x⁴ + kx³ + lx² + mx + n = 0. 

Татшӧм ӧткодьлунъяссӧ медводз видлалӧмаӧсь важ индияса математикъяс. Шуам, Бхаскара XII‐ӧд нэмын петкӧдлӧма, кыдзи корсьны x⁴ − 2x² − 400x = 9999 ӧткодьлунлысь вужсӧ.

1540-ӧд воын Лодовико Феррари гӧгӧрвоӧма, кыдзи корсьны нёльӧд тшупӧда ӧткодьлунлысь вужсӧ коймӧд тшупӧда ӧткодьлун отсӧгӧн. Вит во мысти Кардано йӧзӧдас сылысь методсӧ Ars Magna небӧгас: сэки тӧдса нин лоас, кыдзи коймӧд тшупӧда ӧткодьлунлысь вуж корсьны. (Серпас вылас англичан кыв вылӧ вуджӧдӧм небӧгыс; сэні ставыс гижӧма ӧнія терминъясӧн да формулаясӧн.)

x⁴ + kx³ + lx² + mx + n = 0 ӧткодьлунлысь вужсӧ позьӧ со кыдзи артмӧдны (тайӧ абу Феррарилӧн ногыс). Гижам кӧ x = t + k/4, лоас

   t⁴ + pt² + qt + r = 0

ӧткодьлун; p, q, r лыдъяссӧ позьӧ гижны k, l, m да n пыр — содтӧмӧн, чинтӧмӧн, лыдмӧдӧмӧн да юклӧмӧн. Кутам корсьны сэтшӧм a, b, c да d лыдъяс, медым 

 t⁴ + pt² + qt + r = (t² + at + b)(t² + ct + d).

Сэки t² + at + b = 0 да t² + ct + d = 0 ӧткодьлунъяслӧн вужъясыс лоасны t⁴ + pt² + qt + r = 0 ӧткодьлунлӧн вужъяснас; квадрата ӧткодьлунъяслӧн вужъяслы формула эм нин.

Сідзкӧ, миянлы колӧ корсьны a, b, c да d‐лы формула. Скобкаяс восьтам да артмӧдам:

  t⁴ + pt² + qt + r =

= t⁴ + (a + c)t³ + (b + d + ac)t² + (ad + bc)t + bd.

Сідзкӧ,

a + c = 0,  b + d + ac = p, ad + bc = q, bd = r.

Ми аддзам: c = −a; мӧд да коймӧд ӧткодьлунъясысь артмӧ

b + d = p + a², d − b = q/a.

Сідзкӧ, 2b = p + a² − q/a, 2d = p + a² + q/a. Нёльӧд ӧткодьлун серти, 4bd = 4r, либӧ

(p + a²)² − q²/a² = 4r.

Гижам кӧ y = a², артмас куба ӧткодьлун:

y(p + y)² − q² = 4ry.

Сылӧн вужйыслы формула эм нин; сідзкӧ, a, b, c да d‐лы тшӧтш формула эм.

Куба ӧткодьлунлӧн вужлы формула

• ӧткодьлун — уравнение
• квадрата ӧткодьлун — квадратное уравнение
• куба ӧткодьлун — кубическое уравнение
  
• вуж — корень
• лыдмӧдны — умножить
  

Школаын ми велӧдлім, кыдзи гижны квадрата ӧткодьлунлысь вужсӧ формулаӧн. Тайӧ задачаыс вӧлі нин тӧдса важ Вавилонын, Египетын, Грецияын, Китайын да Индияын. Вужсӧ корсьлӧмаӧсь геометрия ногӧн (алгебра сӧвмӧдӧмаӧсь араб математикъяс, ёна сёрӧнджык).

Куба ӧткодьлунъяс паныдасьлӧны бара жӧ важ египетса, вавилонса, грецияса, китайса да индияса гижӧдъясын. Сӧмын тай уна нэм чӧжнас некодлӧн абу артмӧма лӧсьӧдны вуж корсян ногсӧ.

11-ӧд нэмын Омар Хайям, Персияса нималана математик да поэт, вӧзйӧма корсьны куб ӧткодьлунлысь вужсӧ геометрия ногӧн, кытшвизь да парабола отсӧгӧн. 

Ӧнія терминъясӧн сылысь идеясӧ позьӧ гижны со кыдзи. Со эм x³ + m²x − n = 0 ӧткодьлун, кӧні n > 0. Лыдмӧдам сійӧс x пӧв да гижам со кыдзи:

x⁴/m² = x(n/m² − x).

Сэсся гижтам кык чукля визь: ӧтисӧ урчитӧма y = x²/m ӧткодьлунӧн, мӧдсӧ урчитӧма y² = x(n/m² − x) ӧткодьлунӧн. Медводдзаыс лоӧ парабола, мӧдыс — кытшвизь. Корсям налысь вомӧнасян чутсӧ (кодыс абу нуль); сылӧн абсциссаыс и лоас куб ӧткодьлуныслӧн вужйӧн.

16-ӧд нэм заводитчигӧн италияса математик Сципионе дель Ферро гӧгӧрвоас, кыдзи корсьны x³ + mx − n = 0 ӧткодьлунлысь вужсӧ, но оз йӧзӧд ассьыс мӧвпъяссӧ. Сӧмын кулӧм водзас сійӧ юксяс тайӧ гусяторнас аслас велӧдчысьыскӧд, Антонио Фиоркӧд.

1530-ӧд воын Никколо Тартальялы ыстасны куб ӧткодьлун кузя кык задача. Тадзи заводитчас нималана ордйысьӧм Фиор да Тарталья костын.

Тартальялы вӧлі вӧзйӧма x³ + mx − n = 0 формаа ӧткодьлунъяслысь вуж корсьны. Сюсь математик лӧсьӧдас ӧтувъя метод да вӧзъяс Фиорлы корсьны x³ + mx² − n = 0 формаа ӧткодьлунлысь вужсӧ. Фиорлӧн оз артмы да ворссяс.

1539‐ӧд воын Джероламо Кардано корас Тартальяӧс висьтавны метод йывсьыс, кӧсйысяс, ог пӧ йӧзӧд.

Тарталья эскас сылы да гижас вуж корсян ногсӧ кывбур формаӧн. Некымын во мысти Кардано аддзас дель Ферролысь йӧзӧдтӧм гижӧдсӧ да сюяс куба ӧткодьлун йылысь пасйӧдъяс аслас Ars Magna небӧгас.

Кыдзи нӧ позьӧ артмӧдны куба ӧткодьлун вужлы формула? Гӧгӧрвоӧдам сійӧс ӧнія терминъясӧн.

Со эм ax³ + bx² + cx + d = 0 ӧткодьлун. Мед y = x + b/3a. Артмас y³ + py + q = 0 ӧткодьлун; p да q лыдъяссӧ позьӧ гижны a, b, c да d пыр — содтӧмӧн, чинтӧмӧн, лыдмӧдӧмӧн да юклӧмӧн.

Мед y = t + s. Сэки

 y³ + py + q = (t + s)³ + py + q = t³ + s³ + 3ts(t + s) + py + q =

= t³ + s³ + 3tsy + py + q = (t³ + s³ + q) + y(3ts + p).

Вайӧй видлам корсьны татшӧм t да s, медым t³ + s³ + q = 0 да 3ts + p = 0. Вермам кӧ, y = t + s лоас y³ + py + q = 0 ӧткодьлунлӧн вужйӧн.

Сідзкӧ

 t³ + s³ = −q, ts = −p/3.

Гижам кӧ u = t³, v = s³, артмас:

u + v = −q, uv = −p³/27,

кытысь

u(−q − u) = −p³/27.

Тайӧ квадрат ӧткодьлун, сылӧн вужйыслы вермам гижны формула.

Кыдзи кокньыда артавны унапельӧсалысь эрдсӧ?

• унапельӧса — многоугольник
• эрд — площадь
• мылькъя — выпуклый 
• лыдмӧдны — умножить
  

Тшӧтшкӧс вылӧ гижтӧма унапельӧса. Ми тӧдам сылӧн быд йывлысь координатасӧ. Кыдзи артавны унапельӧсаыслысь эрдсӧ? Позьӧ, дерт, юклыны сійӧс куимпельӧсаяс вылӧ, быд куимпельӧсалысь артавны доръяссӧ да Герон формула отсӧгӧн эрдсӧ корсьны. Но тадзисӧ дыркодь ковмас артавны.

Вӧлӧмкӧ, эм кокньыдджык формула. Сійӧс шуӧны "Гаусслӧн шнуруйтан ногӧн".

Медводз видлалам пример — OA₁A₂ куимпельӧса (сійӧс петкӧдлӧма серпас вылас); йывъясыслӧн со кутшӧм координатаяс: O = (0, 0), A₁ = (x₁, y₁), A₂ = (x₂, y₂).

Мед OA₁ вундӧглӧн кузьтаыс лоӧ r₁, а OA₂ вундӧглӧн — r₂; OA₁ да абсцисса чӧрс костын пельӧсыс лоӧ α₁, OA₂ да абсцисса чӧрс костын — α₂. Сідзкӧ 

 x₁ = r₁⋅cos α₁, y₁ = r₁⋅sin α₁, x₂ = r₂⋅cos α₂, y₂ = r₂⋅sin α₂, 

а куимпельӧсаыслӧн эрдыс лоӧ

S = ½⋅ r₁⋅r₂⋅sin(α₂ − α₁) 

=  ½⋅ r₁⋅r₂⋅(sin α₂⋅cos α₁ − cos α₂⋅sin α₁) 

= ½(y₂x₁ − y₁x₂).

Ӧні видлалам A₁A₂...Aₙ унапельӧса; Aₖ‐лӧн координатаяс лоӧны (xₖ, yₖ); йывъяссӧ нумеруйтӧма сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн, часі стрелка мунӧмлы паныд.

Тайӧ унапельӧсаыс кӧ мылькъя да (0, 0) чут кӧ куйлӧ сы пытшкын, ми вермам юклыны сійӧс куимпельӧсаяс вылӧ да воддза формула отсӧгӧн артавны сылысь эрдсӧ:

 S = ½(y₂x₁ − y₁x₂) + ½(y₃x₂ − y₂x₃) + ... 

+ ½(yₙxₙ₋₁ − yₙ₋₁xₙ) + ½(y₁xₙ − yₙx₁).

Вӧлӧмкӧ, кор (0, 0) чут оз куйлы унапельӧса пытшкас либӧ кор унапельӧсаыс абу мылькъя, формулаыс лоас татшӧм жӧ; бара колӧ нумеруйтны йывъяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн, часі стрелка мунӧмлы паныд. Медым эз ковмы тӧд вылӧ босьтны, кыдзи лыддям йывъяссӧ часі стрелка мунӧм серти, формуласӧ позьӧ гижны модульӧн:

S = ½|(y₂x₁ − y₁x₂) + ½(y₃x₂ − y₂x₃) + ... 

+ ½(yₙxₙ₋₁ − yₙ₋₁xₙ) + ½(y₁xₙ − yₙx₁)|.

Тайӧ и эм Гаусслӧн формула. Сыӧн ёна вӧдитчӧны геодезистъяс.

Медым формулаыс эз вун, позьӧ серпасавны татшӧм диаграмма:

Лӧз диагональяслӧн помъяс дорӧ гижӧм координатаяссӧ лыдмӧдам; сэсся гӧрд диагональяс помъяс дорӧ гижӧм координатаяссӧ лыдмӧдам да босьтам "минус" пасӧн. Сэсся став артмӧм лыдсӧ содтам. Результатсӧ юкам кык пельӧ да босьтам модуль. Диаграммаыс ботинки шнуруйтӧм кодь да, Гаусслысь формуласӧ нӧшта шуӧны "шнуруйтан ногӧн".

Мандельбротлӧн чут чукӧр — 2

• чут чукӧр — множество точек
• ина лыдъяс — вещественные числа
• комплекс лыдъяс — комплексные числа
• мыгӧр — фигура
• вежтас — граница

Ӧні ми кыв-мӧд висьталам Мандельброт чукӧрлӧн структура йылысь. Медводз пасъям: сійӧ куйлӧ 2 радиуса кытшын. 

Ина лыдъяс чукӧркӧд (тшӧтшкӧсвывса абсцисса чӧрскӧд) вомӧнасяніныс лоӧ −2 да 1/4 помъяса вундӧг. Сідзкӧ, ина лыдъяс "енкӧлаын" Мандельброт чукӧрлӧн зэв прӧстӧй структура. Петам кӧ комплекс лыдъяс "енкӧлаӧ" — артмас дзуг мыгӧр, фрактал.

Мандельброт чукӧрлӧн медыджыд юкӧныс сьӧлӧм кодь. Гашкӧ, кодкӧ казьтыштас эпициклоидаяс йылысь гижӧд да шуас: тайӧ, буракӧ, кардиоида. Збыльысь, тадзи и эм.

Кардиоидаыслӧн шуйгавывса чутас инмӧ кытш (сылӧн шӧрчутыс лоӧ −1, радиусыс лоӧ 1/4).

Ӧні видзӧдлам ыджыд кардиоидалӧн вежтас вылас да аддзам: сыӧ инмӧ уна кытш кодь мыгӧр (найӧс шуӧны гӧрддзымъясӧн). Вӧлӧмкӧ, вежтасвывса быд чут гӧгӧр эм помтӧм уна татшӧм гӧрддзым. Тайӧ гӧрддзымъясас сідзжӧ инмӧны ичӧт гӧрддзымъяс, да с. в.

Но и тайӧ абу на ставыс: Мандельброт чукӧр нӧшта на дзугджык. Медводдза серпас вылысь позьӧ нин аддзыны: гӧрддзымъясысь петӧны сунис кодьяс (найӧс шуӧны антеннаясӧн). Вӧлӧмкӧ, тайӧ сунисъясас "пысалӧмаӧсь" сідз шусяна сателлитъяс — деформируйтчӧм Мандельброт чукӧр кодь мыгӧръяс; налӧн гӧрддзымъяссьыс тшӧтш петӧны сателлитъяса антеннаяс, да с. в.

P.S. Серпасъясыс ӧтуввезйысь.

Мандельбротлӧн чут чукӧр

•  чут чукӧр — множество точек

Воддза гижӧдын ми висьталім Жюлиалӧн чут чукӧръяс йылысь. Пырджык найӧ артмӧдӧны зэв дзуг да аслыспӧлӧс серпасъяс — сідз шусяна фракталъяс; босьтан кӧ налысь ичӧт юкӧнъяс да видзӧдан кӧ на вылӧ ёна ыдждӧдана лупа пыр, бара аддзан зэв дзуг серпас; юкӧнъяссӧ позьӧ помтӧма ичӧтмӧдны, но серпасыс пыр коляс дзуг.

Мандельбротлӧн чут чукӧр — нӧшта ӧти нималана фрактал. Жюлиалӧн чут чукӧр йылысь висьталігӧн ми гижим сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн комплекс лыдъяс (налы лӧсялӧны тшӧтшкӧсвывса чутъяс): z₀, z₁, z₂, z₃, ..., z_n, z_n+1, ..., кӧні z₁ = z₀² + c, z₂ = z₁² + c, z₃ = z₂² + c, z₄ = z₃² + c да с. в.; тані c — тшӧтш комплекс лыд. Босьтам z₀ = 0. Став z_n лыд кӧ тӧрӧ кутшӧмкӧ кытшӧ, шуам: c лыдыс куйлӧ Мандельбротлӧн чукӧрын.

Вӧлӧмкӧ, Мандельбротлӧн чут чукӧрыс со кутшӧм (серпас вылас сійӧс пасйӧма сьӧд рӧмӧн):

Медводз тайӧ чут чукӧрсӧ пондӧма туявны Пьер Фату XX-ӧд нэм заводитчигӧн. Сійӧ казялӧма: z_n лыдъяслӧн динамикаыс зэв аслыспӧлӧс, вермас тӧдчымӧн вежсьыны, c лыдсӧ кӧ неуна вӧрзьӧдан. Сэки компьютеръяс эз на вӧвны да, Фатулы ковмис ставсӧ ки помысь артавны.

1970-ӧд воясӧ Бенуа Мандельброт пондӧма туявны z_n лыдъяслысь динамикасӧ компьютер отсӧгӧн; сійӧ жӧ и лӧсьӧдӧма "фрактал" термин. 1978-ӧд воын Брукс да Мательски медводдзаысь серпасалӧмаӧсь Мандельбротлысь чут чукӧрсӧ (дерт, ылӧсас):

Ачыс Мандельброт тайӧ чут чукӧрлысь визуализациясӧ аддзӧма 1980-ӧд воын Томас Уотсон нима IBM-лӧн туялана шӧринын. 

Ӧнія компьютеръяс зэв нин бура арталӧны да, позьӧ аддзыны Мандельброт чукӧрлысь зэв посни детальяс.

(водзӧ лоӧ на...)