Дракон кодь чукля − 2

• тшӧтшкӧс — плоскость
  

Вӧлӧмкӧ, дракон кодь чукляясӧн позьӧ вевттьыны тшӧтшкӧссӧ. Вӧчсьӧ сійӧ со кыдзи.

Юкам тшӧтшкӧссӧ ӧткодь квадратъяс вылӧ да мавтам найӧс сьӧд да еджыд рӧмӧн, шахмат пӧв моз. Квадрат доръяссӧ мавтам нёль рӧмӧн (гӧрд, турунвиж, виж, лӧз), кыдзи петкӧдлӧма серпас вылас.

Сэсся кутам вежлавны квадратъяслысь доръяссӧ дракон кодь чукляяс артмӧдігӧн. Колӧ сӧмын индыны, кодарӧ серпасавны воддза пельӧсторъяссӧ. Вочсьӧ тайӧ тадзи: вертикаль вундӧгъяс пӧрӧны сьӧд квадратъясын куйлысь пельӧсторъясӧ, а горизонталь вундӧгъяс — еджыд квадратъясын куйлысь пельӧсторъясӧ.

Шуам, 8-ӧд вежлалӧм бӧрын квадрат йыв гӧгӧр лоасны со кутшӧм чегласьӧм визьяс (тані квадратъясыс абу нин мавтӧмаӧсь):

Бӧръяпомыс артмас тшӧтшкӧссӧ дракон кодь чукляясӧн вевттьӧм (тані 45° вылӧ бергӧдӧм серпас):

Дракон кодь чукля − 1

• вундӧг — отрезок
• вежлалӧм — преобразование
• бур пельӧс — прямой угол
  
• ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧг — равнобедренный прямоугольный треугольник 
• визьньӧв — луч
  

Водзын ме висьталі, кыдзи вундӧгсӧ помтӧм унаысь вежлалігӧн лӧсьӧдны  Кохлысь чуклясӧ. Мӧд ногӧн кӧ кутам вундӧгъяссӧ вежлавны, артмасны мӧд серъяс. На пӧвстын эм дракон кодь чукля. Сійӧс лӧсьӧдӧма Мартин Гарднер 1967 воын.

Вундӧг вежлалӧм. Босьтам вундӧг да сы вылын лӧсьӧдам ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧг (воддза вундӧгыс лоас гипотенузаӧн); сэсся шыбитам гипотенузасӧ. Артмас бур пельӧстор.

Дракон кодь чуклясӧ лӧсьӧдӧм. Босьтам AB вундӧг да вежам сійӧс бур пельӧсторйӧн, кыдзи вӧлі гижӧма водзынджык. 

Серпас вывсьыс аддзам: AB визьньӧвсӧ кӧ бергӧдны 45° вылӧ часі стрелкалы паныд, артмас AC визьньӧв.

Ӧні вежлалам AC да CB вундӧгъяссӧ бур пельӧсторъясӧн. Артмас 4 юкӧда чегласьӧм визь: ADCEB. Колӧ сӧмын тӧдны, кодарӧ серпасавны тайӧ пельӧсторъяссӧ. Ми вӧчам сідзи, медым 1) AD визьньӧв артмис AC‐ысь 45° вылӧ часі стрелкалы паныд бергӧдӧмӧн, 2) орчча юкӧдъясыс куйлісны перпендикуляр ногӧн. Со кутшӧм тайӧ чегласьӧм визьыс:

Тайӧ визьыслысь быд юкӧдсӧ бара вежлалам. Вӧчам сідзи, медым 1) A пома юкӧдыс "бергӧдчис" 45° вылӧ часі стрелкалы паныд, 2) орчча юкӧдъяс куйлісны перпендикуляр ногӧн. Артмас 8 юкӧда чегласьӧм визь:

Сылысь юкӧдъяссӧ бара вежлалам, воддза индӧдъяс серти, да с. в.

4‐ӧд вежлалӧм бӧрын:

5-ӧд вежлалӧм бӧрын:

8‐ӧд вежлалӧм бӧрын:

10‐ӧд вежлалӧм бӧрын:

Бӧръяпомыс (помтӧм уна пӧв вежлалӧмӧн) лӧсьӧдӧм чегласьӧм визьясыс воасны со кутшӧм мыгӧрӧ:

Тайӧ шусьӧ дракон кодь чукляӧн.

Серпинскӧйлӧн серъяс

• куимсэрӧг — треугольник
• ӧткодь — равный
  
• мыгӧр — фигура
• чут чукӧр — множество точек
• ӧтсяма — подобный
  
• ӧткодь доръяса куимсэрӧг — равносторонний треугольник 

Босьтам квадрат да юкам сійӧс ӧкмыс пельӧ, ӧткодь квадратъяс вылӧ. Шӧр квадратсӧ шыбитам. Артмас со кутшӧм мыгӧр:

Кольӧм быд квадратсӧ бара юкам ӧтмоза ӧкмыс пельӧ да шыбитам шӧр квадратъяссӧ. Ӧні кольӧм юкӧныс со кутшӧм:

Сэсся бара юкам кольӧм квадратъяссӧ ӧкмыс пельӧ, шыбитам шӧр квадратъяссӧ, да с. в.

Бӧръяпомыс, помтӧм унаысь квадратъяссӧ шыблаліг, артмас со кутшӧм чут чукӧр:

Сійӧ шусьӧ Серпинскӧйлӧн джодждӧраӧн. Тайӧ мыгӧрсӧ лӧсьӧдӧма Вацлав Серпинскӧй 1916-ӧд воын.

Серпинскӧйлысь джодждӧрасӧ кӧ юкам медводдза квадратсӧ моз, артмас кӧкъямыс ӧткодь мыгӧр. На пиысь кутшӧмкӧ юкӧнсӧ кӧ ыдждӧдны куимысь, лоас дзонь джодждӧракӧд ӧткодь мыгӧр. Сідзкӧ быд юкӧныс ӧтсяма дзонь джодждӧралы.

Неуна водзджык, 1915-ӧд воын, Серпинскӧй лӧсьӧдӧма куимсэрӧгысь татшӧм жӧ сяма чут чукӧр.

Босьтам ӧткодь доръяса куимсэрӧг да юкам сійӧс нёль пельӧ, ӧткодь куимсэрӧгъяс вылӧ. Шӧр куимсэрӧгсӧ шыбитам. Артмас со кутшӧм мыгӧр:

Кольӧм куимсэрӧгъяссӧ бара юкам нёль пельӧ да шыбитам шӧр куимсэрӧгсӧ:

Сэсся бара сійӧс жӧ вӧчам кольӧм куимсэрӧгъясӧн, да с.в.

Бӧръяпомыс коляс татшӧм чут чукӧр:

Сійӧс шуӧны Серпинскӧйлӧн куимсэрӧгӧн либӧ Серпинскӧйлӧн салфеткаӧн. 

Серпинскӧйлысь салфеткасӧ кӧ юкам медводдза куимсэрӧгсӧ моз, артмас куим ӧткодь мыгӧр. Быд юкӧныс ӧтсяма дзонь салфеткалы.

 

Кохлӧн лым чир − 2

• аслун — свойство
• вундӧг — отрезок
• чегласян чут — точка излома
• эрд — площадь
• тшӧтшкӧс — площадь
  

Ӧні пасйыштам кутшӧмсюрӧ аслунъяссӧ Кохлӧн чуклялысь да Кохлӧн лым чирлысь.

1) Кохлӧн чукля помтӧм кузьтаа. Медым тайӧс гӧгӧрвоны, уськӧдам тӧд вылӧ, кыдзи вӧлі артмӧдӧма тайӧ чуклясӧ. Медводз казялам: вундӧг вежлалӧм бӧрын артмӧм чегласьӧм визьлӧн кузьтаыс 4/3 пӧв ыджыдджык вундӧгыслӧн кузьтасьыс. Сідзкӧ, Кохлӧн чукля дорӧ матыстчысь чегласьӧм визьясыслӧн кузьтаяс ыдждӧны геометрия прогрессия моз: p, (4/3)p, (4/3)²p, (4/3)³p, ..., кӧні p — медводдза куимсэрӧглӧн периметр. Сідзкӧ найӧ помтӧма ыдждӧны. Нӧшта казялам: тайӧ визьясыслӧн чегласян чутъясыс куйлӧны Кохлӧн чукля визь вылас. Та вӧсна Кохлӧн визь кузьджык быд матыстчан чегласьӧм визьсьыс — а сідзкӧ сійӧ помтӧм кузьтаа. (Кыдзи муртавны чукля визьлысь кузьтасӧ, гижӧма тані.)

2) Кохлӧн лым чирлӧн эрдыс 8/5 пӧв ыджыдджык воддза куимсэрӧглӧн эрдсьыс. Арталам. Шуам, медводдза куимсэрӧглыслӧн эрдыс лоӧ S. Медым тӧдмавны квайт йыла кодзувлысь эрдсӧ, колӧ S дорӧ содтыны ичӧт куимсэрӧгъяслысь эрдъяссӧ.

Быд тайӧ куимсэрӧгыслӧн дорыс медводдза куимсэрӧглӧн дорсьыс 3 пӧв дженьыдджык; сідзкӧ эрдыс лоӧ S/9. Содтӧма 3 куимсэрӧг да, кодзулыслӧн эрдыс лоӧ

S + 3(S/9).

Ӧні тӧдмалам мӧд вежлалӧм бӧрын артмӧм мыгӧрлысь эрдсӧ. Колӧ квайт йыла кодзувлӧн эрд дорӧ содтыны медічӧт куимсэрӧгъяслысь эрдсӧ.

Медводдза куимсэрӧгыслӧн 3 дор; медводдза вежлалӧм бӧрын наысь артмӧны 4 юкӧда чегласьӧм визьяс. Мӧд вежлалӧм бӧрын быд тайӧ юкӧд бердӧ содтыссьӧ куимсэрӧг — ставыс артмӧ 3⋅4 ичӧтик куимсэрӧг. Быд тайӧ куимсэрӧгыслӧн эрд лоӧ S/9². Сідзкӧ мыгӧрыслӧн эрдыс лоӧ 

 S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²).

Коймӧд вежлалӧм бӧрын содтыссьӧ 3⋅4² куимсэрӧг; быд тайӧ куимсэрӧгыслӧн эрд лоӧ S/9³. Сідзкӧ артмӧм мыгӧрлӧн эрдыс лоӧ  

S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²) + 3⋅4²(S/9³).

Нёльӧд вежлалӧм бӧрын артмӧм мыгӧрлӧн эрдыс лоӧ 

 S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²) + 3⋅4²(S/9³) + 3⋅4³(S/9⁴), 

да с. в. Сідзкӧ Кохлӧн лым чирлӧн эрдыс лоӧ со кутшӧм помтӧм сумма:

 S + 3(S/9) + 3⋅4(S/9²) + 3⋅4²(S/9³) + 3⋅4³(S/9⁴) +  

+ 3⋅4⁴(S/9⁵) + 3⋅4⁵(S/9⁶) + ...

Геометрия прогрессиясӧ суммируйтӧм бӧрын лоас  

S + 3S/5 = 8S/5.

3) Кохлӧн лым чиръясӧн позьӧ вевттьыны тшӧтшкӧссӧ, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.

Кохлӧн лым чир − 1

• мыгӧр — фигура
• вежтас — граница 
  
• вундӧг — отрезок
• ӧткодь доръяса куимсэрӧг — равносторонний треугольник
• чегласьӧм визь — ломаная

Тайӧ мыгӧрсӧ (стӧчджыка кӧ, сылысь вежтассӧ) лӧсьӧдӧма 1904-ӧд воын Хельге фон Кох (швед математик).

Вундӧг вежлалӧм. Босьтам вундӧг да ӧткузя юклам сійӧс куим пельӧ. Шӧрса вундӧг вылас лӧсьӧдам ӧткодь доръяса куимсэрӧг, сэсся сылысь подувсӧ шыбитам. Артмас со кутшӧм чегласьӧм визь:

Лым чирсӧ лӧсьӧдӧм. Босьтам кутшӧмкӧ ӧткодь доръяса куимсэрӧг.

Сылысь быд дор вежам чегласьӧм визьӧн, кыдзи вӧлі гижӧма водзын. Вӧчам сідзи, медым ичӧт куимсэрӧгъяс вӧліны ыджыд куимсэрӧг ортсыас:

Артмис квайт йыла кодзув.

Тайӧ кодзулыслысь быд дорсӧ бара вежлалам чегласьӧм визьнас. Вӧчам сідзи, медым ичӧт куимсэрӧгъясыс вӧліны кодзув ортсыас.

Артмӧм мыгӧрлысь доръяссӧ бара вежлалам чегласьӧм визьнас, да с.в.

Бӧръяпомыс (помтӧм уна пӧв вежлалӧмӧн) лӧсьӧдӧм мыгӧръясыс воасны со кутшӧм "лым чирйӧ":

Тайӧ шусьӧ Кохлӧн лым чирйӧн, а сылӧн вежтасыс — Кохлӧн чукляӧн.

(водзӧ лоӧ на...)

Позьӧ-ӧ лючки муртавны вадорлысь кузьтасӧ?

• вундӧг — отрезок 
• воанлыд — предел
  

Кыдзи муртавны визьлысь кузьтасӧ?

Медся кокньыд тӧдмавны чегласьӧм визьлысь кузьтасӧ. Татшӧм визьыс тэчӧма некымын вундӧгысь. Колӧ сӧмын муртавны быд веськыд юкӧнлысь кузьтасӧ да содтыны артмӧм лыдъяссӧ.

Визьыс кӧ чукыль, но ёна оз кусыньтчы (посни юкӧнъясыс кӧ пӧшти веськыдӧсь), сылысь кузьтасӧ позьӧ артавны ылӧсас. Пуктам сы вылӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн некымын чут да йитам орчча чутъяссӧ вундӧгъясӧн. Мурталам артмӧм чегласьӧм визьлысь кузьтасӧ (пасъям сійӧс s₁). Медкузь вундӧглӧн ыдждаыс мед лоас d₁.

Та бӧрын визьлысь быд юкӧн вылӧ бара пуктам некымын чут да йитам найӧс сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн вундӧгъясӧн. Артмас выль чегласьӧм визь, сылысь кузьтасӧ пасъям s₂. Медкузь вундӧглӧн ыдждаыс мед лоас d₂.

Сэсся визьлӧн юкӧнъяс вылӧ пуктам нӧшта некымын чут, артмӧдам чегласьӧм визь (сылӧн кузьтаыс лоас s₃), да с. в.

Гижам сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн s₁, s₂, s₃, ... (чегласьӧм визьяслысь кузьтаяссӧ) да d₁, d₂, d₃, ... (медкузь вундӧгъяслысь ыдждаяссӧ). Вӧлӧмкӧ, d₁, d₂, d₃, ... лыдъясыс кӧ помтӧма чинӧны да воӧны 0-ӧ, сэки s₁, s₂, s₃, ... тшӧтш кутшӧмкӧ лыдӧ воасны (пасъям сійӧс s); воанлыдыс и шусьӧ визьыслӧн кузьтаӧн. Тайӧс колӧ со кыдзи гӧгӧрвоны: пуктам кӧ визь вылас чутъяссӧ тырмымӧн тшӧкыда, артмӧм чегласьӧм визьлӧн кузьтаыс пӧшти оз и торъяв s лыдсянь, лоас сысянь зэв матын.

Вадорлӧн да кык канмулӧн суйӧр кузьта.

XX‐ӧд нэм шӧрын англияса туялысь Льюис Фрай Ричардсон зільӧма тӧдмавны: канмуяслӧн ӧтувъя суйӧрыс кӧ кузьджык, кокньыдджыка-ӧ найӧ вермасны пондыны тышкасьны? Лыдпасъяссӧ видлалігӧн сійӧ шензьӧмӧн казялӧма: Португалияса мыччӧдъяс серти, сылӧн Испаниякӧд ӧтувъя суйӧрыс 1214 км ыджда; Испанияса мыччӧдъяс серти — сӧмын 987 км. Вӧлӧмкӧ, Испанияса да Португалияса му мурталысьясыс абу торксьӧмаӧсь, найӧ сӧмын абу ӧти ногӧн кузьтасӧ арталӧмаӧсь: суйӧрсӧ абу ӧти ногӧн юклӧмаӧсь.

Мыйла нӧ лыдпасъясыс сэтшӧм ёна торъялӧны? Помкаыс вӧлӧм со кутшӧм: суйӧрыс зэв ёна кусыньтчӧ. Сійӧс кӧ серпасавны карта вылӧ, посниторъяс оз тыдовтчыны. Уна пельӧ юклӧмӧн, позьӧ чайтны, сылысь кузьтасӧ позьӧ лючки муртавны, юкӧнъясыс пӧшти веськыдӧсь.

Босьтам кӧ ыджыдджык масштаба мусерпассӧ, аддзам: тайӧ юкӧнъясыс вӧлӧм зэв чукыльӧсь, налӧн кузьтаыс ёна торъялӧ помъяссӧ йитан вундӧглӧн кузьтасьыс. Сідзкӧ и дзонь визьыслӧн кузьтаыс омӧля мурталӧма.

Юклам визьсӧ посньыдджык торъяс вылӧ, сідзи, медым выль мусерпас вылын найӧ вӧліны вундӧгъяс кодьӧсь. Гашкӧ, тадзи мурталӧмӧн стӧчджыка тӧдмалам кузьтасӧ? Вӧлӧмкӧ, огӧ. Босьтам кӧ нӧшта ыджыдджык масштаба мусерпассӧ, бара аддзам: тайӧ юкӧнъясыс тшӧтш ёна чукыльӧсь, да с. в.

Татшӧмтор жӧ артмӧ вадор кузьтасӧ мурталігӧн; масштаб ыдждӧдігӧн, посньыдджык куръяяс да кӧджъяс тӧд вылӧ босьтігӧн кузьтаыс вермӧ помтӧма содны.

PS Мусерпасъясыс Google maps сайт вылысь босьтӧмаӧсь.

Кёнигсбергса сизим пос йылысь мог − 2

• графлӧн йыв — вершина графа 
• графлӧн йитӧд — ребро графа
• йывлӧн тшупӧд — степень вершины
  

Графлӧн йитӧдъяс кузя мунӧм.

Со серпасалӧма граф; сылӧн быд кык йыв костӧд позьӧ йитӧдъясысь тэчны туй.

Графлӧн став йитӧд пыр кӧсъям нуӧдны визь; быд йитӧд кузя мунны позьӧ сӧмын ӧтчыдысь. Позьӧ-ӧ тадзи вӧчны?

Вӧлӧмкӧ, вочакыв со кутшӧм (сійӧс сетӧма Леонард Эйлер). Тӧдмалам быд йывлысь тшупӧдсӧ (сыысь петысь йитӧд лыдсӧ). Сэсся арталам, уна-ӧ лиша тшупӧда йыв (кыдз ми тӧдам нин, тайӧ лыдыс пыр тшӧта).

Артмис кӧ 0 либӧ 2 лиша тшупӧда йыв — визьсӧ нуӧдны позьӧ. Унджык кӧ — оз позь.

Кёнигсбергса посъяслӧн схемалы лӧсялысь граф.

Воддза гижӧдын ми сійӧс серпасалім нин. Ӧні гижам быд йыв дорас сылысь тшупӧдсӧ.

Ми аддзам: нёльнан тшупӧдыс лиша. Сідзкӧ и колана туйсӧ лӧсьӧдны оз позь.