Позьӧ-ӧ лючки муртавны вадорлысь кузьтасӧ?

• вундӧг — отрезок 
• воанлыд — предел
  

Кыдзи муртавны визьлысь кузьтасӧ?

Медся кокньыд тӧдмавны чегласьӧм визьлысь кузьтасӧ. Татшӧм визьыс тэчӧма некымын вундӧгысь. Колӧ сӧмын муртавны быд веськыд юкӧнлысь кузьтасӧ да содтыны артмӧм лыдъяссӧ.

Визьыс кӧ чукыль, но ёна оз кусыньтчы (посни юкӧнъясыс кӧ пӧшти веськыдӧсь), сылысь кузьтасӧ позьӧ артавны ылӧсас. Пуктам сы вылӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн некымын чут да йитам орчча чутъяссӧ вундӧгъясӧн. Мурталам артмӧм чегласьӧм визьлысь кузьтасӧ (пасъям сійӧс s₁). Медкузь вундӧглӧн ыдждаыс мед лоас d₁.

Та бӧрын визьлысь быд юкӧн вылӧ бара пуктам некымын чут да йитам найӧс сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн вундӧгъясӧн. Артмас выль чегласьӧм визь, сылысь кузьтасӧ пасъям s₂. Медкузь вундӧглӧн ыдждаыс мед лоас d₂.

Сэсся визьлӧн юкӧнъяс вылӧ пуктам нӧшта некымын чут, артмӧдам чегласьӧм визь (сылӧн кузьтаыс лоас s₃), да с. в.

Гижам сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн s₁, s₂, s₃, ... (чегласьӧм визьяслысь кузьтаяссӧ) да d₁, d₂, d₃, ... (медкузь вундӧгъяслысь ыдждаяссӧ). Вӧлӧмкӧ, d₁, d₂, d₃, ... лыдъясыс кӧ помтӧма чинӧны да воӧны 0-ӧ, сэки s₁, s₂, s₃, ... тшӧтш кутшӧмкӧ лыдӧ воасны (пасъям сійӧс s); воанлыдыс и шусьӧ визьыслӧн кузьтаӧн. Тайӧс колӧ со кыдзи гӧгӧрвоны: пуктам кӧ визь вылас чутъяссӧ тырмымӧн тшӧкыда, артмӧм чегласьӧм визьлӧн кузьтаыс пӧшти оз и торъяв s лыдсянь, лоас сысянь зэв матын.

Вадорлӧн да кык канмулӧн суйӧр кузьта.

XX‐ӧд нэм шӧрын англияса туялысь Льюис Фрай Ричардсон зільӧма тӧдмавны: канмуяслӧн ӧтувъя суйӧрыс кӧ кузьджык, кокньыдджыка-ӧ найӧ вермасны пондыны тышкасьны? Лыдпасъяссӧ видлалігӧн сійӧ шензьӧмӧн казялӧма: Португалияса мыччӧдъяс серти, сылӧн Испаниякӧд ӧтувъя суйӧрыс 1214 км ыджда; Испанияса мыччӧдъяс серти — сӧмын 987 км. Вӧлӧмкӧ, Испанияса да Португалияса му мурталысьясыс абу торксьӧмаӧсь, найӧ сӧмын абу ӧти ногӧн кузьтасӧ арталӧмаӧсь: суйӧрсӧ абу ӧти ногӧн юклӧмаӧсь.

Мыйла нӧ лыдпасъясыс сэтшӧм ёна торъялӧны? Помкаыс вӧлӧм со кутшӧм: суйӧрыс зэв ёна кусыньтчӧ. Сійӧс кӧ серпасавны карта вылӧ, посниторъяс оз тыдовтчыны. Уна пельӧ юклӧмӧн, позьӧ чайтны, сылысь кузьтасӧ позьӧ лючки муртавны, юкӧнъясыс пӧшти веськыдӧсь.

Босьтам кӧ ыджыдджык масштаба мусерпассӧ, аддзам: тайӧ юкӧнъясыс вӧлӧм зэв чукыльӧсь, налӧн кузьтаыс ёна торъялӧ помъяссӧ йитан вундӧглӧн кузьтасьыс. Сідзкӧ и дзонь визьыслӧн кузьтаыс омӧля мурталӧма.

Юклам визьсӧ посньыдджык торъяс вылӧ, сідзи, медым выль мусерпас вылын найӧ вӧліны вундӧгъяс кодьӧсь. Гашкӧ, тадзи мурталӧмӧн стӧчджыка тӧдмалам кузьтасӧ? Вӧлӧмкӧ, огӧ. Босьтам кӧ нӧшта ыджыдджык масштаба мусерпассӧ, бара аддзам: тайӧ юкӧнъясыс тшӧтш ёна чукыльӧсь, да с. в.

Татшӧмтор жӧ артмӧ вадор кузьтасӧ мурталігӧн; масштаб ыдждӧдігӧн, посньыдджык куръяяс да кӧджъяс тӧд вылӧ босьтігӧн кузьтаыс вермӧ помтӧма содны.

PS Мусерпасъясыс Google maps сайт вылысь босьтӧмаӧсь.

Кёнигсбергса сизим пос йылысь мог − 2

• графлӧн йыв — вершина графа 
• графлӧн йитӧд — ребро графа
• йывлӧн тшупӧд — степень вершины
  

Графлӧн йитӧдъяс кузя мунӧм.

Со серпасалӧма граф; сылӧн быд кык йыв костӧд позьӧ йитӧдъясысь тэчны туй.

Графлӧн став йитӧд пыр кӧсъям нуӧдны визь; быд йитӧд кузя мунны позьӧ сӧмын ӧтчыдысь. Позьӧ-ӧ тадзи вӧчны?

Вӧлӧмкӧ, вочакыв со кутшӧм (сійӧс сетӧма Леонард Эйлер). Тӧдмалам быд йывлысь тшупӧдсӧ (сыысь петысь йитӧд лыдсӧ). Сэсся арталам, уна-ӧ лиша тшупӧда йыв (кыдз ми тӧдам нин, тайӧ лыдыс пыр тшӧта).

Артмис кӧ 0 либӧ 2 лиша тшупӧда йыв — визьсӧ нуӧдны позьӧ. Унджык кӧ — оз позь.

Кёнигсбергса посъяслӧн схемалы лӧсялысь граф.

Воддза гижӧдын ми сійӧс серпасалім нин. Ӧні гижам быд йыв дорас сылысь тшупӧдсӧ.

Ми аддзам: нёльнан тшупӧдыс лиша. Сідзкӧ и колана туйсӧ лӧсьӧдны оз позь.

Кёнигсбергса сизим пос йылысь мог

Важ Кёнигсбергса (ӧні Калининград) олысьяс лӧсьӧдӧмаӧсь ворсӧм: колӧ вуджны карса став поссӧ; быд пос кузя позьӧ мунны сӧмын ӧтчыдысь.

Ставыс карын вӧлі сизим пос, найӧ сулалӧмаӧсь сідзи, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылас:

Некод абу вермӧма лӧсьӧдны колана маршрут; кодсюрӧ чайтӧма, татшӧм туйыс пӧ абу, но подулавны абу кужӧма.

Тайӧ ворсӧм йывсьыс тӧдмалас Леонард Эйлер да кад мысти сетас вочакыв: маршрутсӧ лӧсьӧдны оз позь. Гижӧдсӧ йӧзӧдасны некымын во мысти, 1741-ӧд воын.

Кёнигсбергса посъяс йылысь мӧвпалігӧн Эйлер пуктӧма подув граф теориялы. Воддза гижӧдын ми висьтавлім нин графъяс йылысь. Эм некымын чут, на пӧвстын кутшӧмсюрӧ гоз йитӧма визьясӧн (вермӧ лоны некымын визь); артмӧм схемаыс и лоӧ граф. Чутъяссӧ шуӧны йывъясӧн, визьяссӧ — йитӧдъясӧн.

Выльысь видзӧдлам важ Кёнигсберглӧн план вылӧ. 

Карыс торйӧдӧма нёль юкӧн вылӧ (А, Б, В, Г). Серпасалам нёль чут да пасъям найӧс А−Г шыпасъясӧн. А да Б юкӧнъяс йитлӧмаӧсь кык поскӧн; йитам А да Б чутъяссӧ кык визьӧн. А да Г юкӧнъяс йитлӧмаӧсь сӧмын ӧти поскӧн — сідзкӧ йитам А да Г чутъяссӧ ӧти визьӧн, да с. в. Артмис со кутшӧм граф:

Ӧні посъяс йылысь юалӧмсӧ позьӧ мӧд ногӧн гижны: колӧ нуӧдны графлӧн став йитӧд пырыс визь; быд йитӧд кузя мунны позьӧ сӧмын ӧтчыдысь.

(водзӧ лоӧ на...)

 

Киасьӧмъяс йылысь лемма

• тшӧта (лиша) лыд — чётное (нечётное) число
• графлӧн йыв — вершина графа
• графлӧн йитӧд — ребро графа
• йывлӧн тшупӧд — степень вершины
  

Чукӧртчӧм вылӧ локтісны йӧз, на пӧвстын кодсюрӧяс киасисны. Кымын морт киасис лиша лыд морткӧд? Вӧлӧмкӧ, тайӧ лыдыс пыр тшӧта.

Серпасалам со кутшӧм схема (математикъяс сійӧс шуӧны графӧн). Быд чут пасйӧ мортӧс; кык морт кӧ киасисны, найӧс пасйысь чутъяссӧ йитам визьӧн.

Чутъяссӧ шуӧны графыслӧн йывъясӧн, а визьяссӧ — йитӧдъясӧн. Йывлӧн тшупӧдӧн шуӧны сыысь петысь йитӧд лыдсӧ. Серпас вылас быд йыв дорӧ гижӧма сылысь тшупӧд:

Колӧ петкӧдлыны: быд графлӧн лиша тшупӧда йыв лыдыс пыр тшӧта (колӧ сӧмын, медым эз вӧв помтӧм уна йыв либӧ помтӧм уна йитӧд).

Мед графын йитӧд лыд лоӧ s, а йывъяслӧн тшупӧдъясыс лоӧны m₁, m₂, ..., mₙ. Юклам графсӧ торъя визьяс вылӧ, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылас.

Визьясыслысь помъяс лыдсӧ позьӧ артавны кык ногӧн:

1) ставыс артмис s визь, быд визьлӧн кык пом; сідзкӧ, лоас 2s пом;

2) содтам кӧ юклытӧм графса йыв тшупӧдъяссӧ, бара жӧ лоас визьяслӧн помъяс лыд (позьӧ аддзыны серпас вылысь).

Миян артмис формула: m₁ + m₂ + ... + mₙ = 2s. Сыысь ми аддзам: йыв тшупӧдъяслӧн суммаыс — тшӧта лыд. Сідзкӧ йывъяслӧн лиша тшупӧдъяслӧн суммаыс бара лоас тшӧта. А тайӧ вермӧ лоны сӧмын кӧ лиша тшупӧда йывъяс лыдыс тшӧта.

Куим керка да куим юкмӧс йылысь юржуглантор

Эм куим керка да куим юкмӧс. Быд керкасянь куимнан юкмӧсӧдз колӧ вӧчны ӧта-мӧдыскӧд вомӧнасьтӧм туйяс. Ӧнія гижӧдъясын юкмӧсъяс пыдди тшӧкыдджыка видлалӧны газ, ва да электричество станцияяс; му веркӧс кузя колӧ быд керкалань нуӧдны ӧта-мӧдыскӧд вомӧнасьтӧм коммуникацияяс.

Гижам тайӧ задачасӧ математика терминъясӧн. Тшӧтшкӧс вылын эм квайт чут: A₁, A₂, A₃ да B₁, B₂, B₃. Колӧ йитны быд A нима чутсӧ став B нима чуткӧд сідзи, медым чукля визьясыс эз вомӧнасьны.

1930-ӧд воын Казимир Куратовскӧй петкӧдлӧма: татшӧм визьяссӧ гижтыны оз позь. (Неуна водзынджык тайӧ жӧ результатӧдзыс волӧма Лев Семёнович Понтрягин, сӧветса математик, но абу йӧзӧдӧма теоремасӧ.)

 

Понселелӧн теорема

• кытш — круг
• кытшвизь — окружность
• унасэрӧг — многоугольник
• тӧрӧдчӧм — вписанный
• гӧгӧртана — описанный
• инман веськыд визь — касательная прямая

Эм кык кытш, ӧтиыс куйлӧ мӧд пытшкас. Ортсы кытшас тӧрӧдчӧма n‐сэрӧг (пасъям сійӧс A₁A₂...Aₙ); тайӧ унасэрӧгас тӧрӧдчӧма пытшкӧс кытшыс.

Босьтам ортсы кытшвизь вылысь кутшӧмкӧ чут (пасъям сійӧс B₁) да гижтам сы пыр пытшкӧс кытшвизьлы инман веськыд визь; сійӧ вомӧнасяс ортсы кытшвизькӧд B₂ чутын. Сэсся B₂ чут пыр гижтам пытшкӧс кытшвизьлы инман веськыд визь. Сійӧ вомӧнасяс ортсы кытшвизькӧд B₃ чутын, да с. в. Вӧлӧмкӧ, Bₙ чут пыр нуӧдӧм инман веськыд визь вомӧнасяс ортсы кытшвизькӧд B₁ чутын. Артмас B₁B₂...Bₙ унасэрӧг; ортсы кытшвизь гӧгӧртӧ сійӧс, пытшкӧссаыс сыӧ тӧрӧдчӧма.

Тайӧ теоремасӧ подулалӧма Жан-Виктор Понселе 1814-ӧд воын Саратовын олігӧн (1812-ӧд вося Францияа-Россияа тыш дырйи сійӧ веськалӧма пленӧ да вӧлі мӧдӧдӧма Саратовӧ ссылкаӧ).

Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема − 4

• визьньӧв — луч 
• вундӧг — отрезок
  
• кытшвизь — окружность
• тӧрӧдчӧм пельӧс — вписанный угол
  

Ӧні гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы нӧшта ӧти подулалӧм — буракӧ медся дженьыдсӧ. Сійӧс лӧсьӧдӧмаӧсь англияса кык инженер — Г. Джильберт да Д. Мак-Доннелл; йӧзӧдӧмаӧсь 1963-ӧд воын American Mathematical Monthly журналын.

ABC куимпельӧсалӧн ∠ABC < ∠ACB, BM да CN — сылӧн биссектрисаяс. Петкӧдлам: CN < BM (мӧд ногӧн кӧ шуны, биссектрисаясыс абу ӧткузяӧсь).

Мед ∠ABC = 2β, ∠ACB = 2γ (сідзкӧ β < γ). Гижтам CN да CM костті CP визьньӧв сідзи, медым ∠NCP = β. CP визь вомӧнасис BM вундӧгкӧд M' чутын. 

Ми аддзам: ∠NBM' = ∠NCM'. Планиметрия курсысь теорема серти, N, B, C да M' чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.

Ӧні видлалам тӧрӧдчӧм кык пельӧс: ∠NBC да ∠M'CB. Ми аддзам: ∠NBC = 2β < β + γ = ∠M'CB. Планиметрия курсысь ми тӧдам: ичӧтджык пельӧс мыджсьӧ дженьыдджык хорда вылӧ. Сідзкӧ CN < BM'. Но BM' < BM. Со миян и артмис CN > BM ӧткодьтӧмлун.

Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема − 3

• вундӧг — отрезок
• лӧсялысь вундӧгъяс — совпадающие отрезки
  
• паныдсянь подулавны — доказать от противного 
• ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс — внутренние накрест лежащие углы
• ӧткодьтӧмлун — неравенство 
• кыв вожалӧм — противоречие
  

Гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы мӧд подулалӧмсӧ. Сійӧс вӧзйӧма Д. О. Шкляркӧйлӧн кружокын велӧдчысь Лидия Копейкина 1939-ӧд воын (сэсся сійӧ лоӧма мехматса доцентӧн).

 ABC куимпельӧсаын BM да CN биссектрисаяс ӧткузяӧсь. Гижтам M да N чутъяс пыр BC‐лы параллельяс; найӧ вомӧнасясны AB да AC‐кӧд P да Q чутъясын.

MP да NQ вундӧгъяс кӧ лӧсяласны, позяс нин аддзыны: ∠ABC = ∠ACB.

Ӧні подулалам паныдсянь, мый MP да NQ лӧсялӧны. Мед, шуам, PM визь куйлӧ NQ да BC визьяс костын.

Ми аддзам: ∠PMB = ∠MBC (найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да). BM — биссектриса, та вӧсна ∠MBC = ∠PBM. Сідзкӧ ∠PMB = ∠PBM, кытысь артмӧ: PB = PM. Татшӧм жӧ ногӧн позьӧ подулавны, мый QC = QN. 

Миян артмисны ӧткодь берда куимпельӧсаяс: ∆BPM да ∆CQN; налӧн подувъясыс (BM да CN) ӧткузяӧсь. PM куйлӧ NQ да BC костын, та понда PM > NQ. Сідзкӧ ∠PBM > ∠QCN. Казьтыштам, мый BM да CN — биссектрисаяс, да аддзам: ∠ABC > ∠ACB.

Ӧні видлалам BPMC трапециясӧ. ∠PBC > ∠MCB ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: PB < MC. Сідзкӧ

PB < MC < QC = NQ < PM = PB,

либӧ PB < PB. Тайӧ кыв вожалӧм.

Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема − 2

•  ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник
• куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
• ӧткодь куимсэрӧгъяс — равные треугольники
• лӧсялана пельӧсъяс — соответствующие углы (в равных треугольниках)
  
• тшӧтшкӧсджын — полуплоскость 
• ортсы пельӧс — внешний угол
• ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс — накрест лежащие углы
  

Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.

ABC куимпельӧсалӧн BE да CF биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠ABC = ∠ACB.

 Гижтам GBE куимпельӧса сідзи, медым ∆GBE да ∆AFC вӧліны ӧткодьӧсь, а G да A чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын BE визь серти.

Миян артмӧ: ∠BGE = ∠BAE. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) B, G, A да E чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.

 Сідзкӧ ∠ABE = ∠AGE (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).

Гижтам GH —  ∆BGE-лысь биссектрисасӧ. Пасъям I шыпасӧн BE да CF-лысь вомӧнасянінсӧ.

Петкӧдлам: ∠AIE = ∠AGH. 

 ∠AIE лоӧ ∆BAI-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти,

∠AIE = ∠ABI + ∠BAI.

I чут — ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна 

∠BAI = ∠BAC/2.

Но ∆GBE = ∆AFC, та вӧсна ∠BAC/2 = ∠BGE/2 = ∠EGH.

Сідзкӧ

 ∠BAI = ∠EGH.

 Кыдзи ми тӧдам нин, ∠ABE = ∠AGE, а ∠ABI да ∠ABE — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ 

∠ABI = ∠AGE.

Миян артмис:  

∠AIE = ∠ABI + ∠BAI = ∠AGE + ∠EGH = ∠AGH.

 

Ӧні казялам: ∠AIE + ∠AIH = 180°; сідзкӧ 

 ∠AGH + ∠AIH = 180°.

Та вӧсна A, G, H, I чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).

Казьтыштам: GH да AI — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: GH да AI — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна IH да AG вундӧгъяс — параллельяс.

Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠ABC = ∠ACB.

Ми тӧдам нин:

∠ABC/2 = ∠ABE = ∠AGE;

∠ACB/2 = ∠ACF = ∠GEB (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);

∠AGE = ∠GEB (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; AG да BE — параллельяс).

Сідзкӧ ∠ABC/2 = ∠ACB/2, кытысь ∠ABC = ∠ACB.

 

Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема − 1

• ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник
• боквыв дор — боковая сторона 
• судта — высота
  
• ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники
  

Школа геометрияысь ми тӧдам: куимпельӧса кӧ ӧткодь берда, сэки

1. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм судтаяс ӧткузяӧсь,
2. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм медианаяс ӧткузяӧсь,
3. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм биссектрисаяс ӧткузяӧсь.

Позьӧ-ӧ шуны мӧдарӧ: куимпельӧсалӧн кӧ эм ӧткузя кык судта (медиана, биссектриса), сэки куимпельӧсаыс ӧткодь берда? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.

Судтаяс да медианаяс йылысь теоремаяссӧ абу вывті сьӧкыд подулавны; коді школа геометрия тӧдӧ, ӧдйӧ аддзас серпас вылысь ӧткодь куимпельӧсаяс да гӧгӧрвоас, мый ∠B = ∠C.

Вӧлӧмкӧ, биссектрисаяс йылысь теоремасӧ подулавны сьӧкыдджык нин. Медводзысь тайӧ теоремаыс вӧлі пасйӧма сӧмын 1840-ӧд воын, Шарль Штурм дорӧ Кристиан Лемуслӧн письмӧын. Сёрӧнджык сійӧс подулалӧма Якоб Штейнер; текстыс вель сьӧкыд, дай сэні тырмытӧмторъяс эмӧсь.

Сэсся унакодь подулалӧм вӧлі лӧсьӧдӧма; на пӧвстын эмӧсь дженьыдкодьяс, но быдын эм кутшӧмкӧ аслыспӧлӧс идея. Некымын йывсьыс ми мӧдысь гижам.

(водзӧ лоӧ на...) 

Позьӧ-ӧ ёжӧс шыльӧдны?

• инман вектор — касательный вектор
  

 Сфералӧн быд чутсянь гижтӧма инман вектор; чутъясыс кӧ матынӧсь ӧта-мӧд дорас, сэки и инман векторъясыс (налӧн нырвизьясыс да кузьтаясыс) матынӧсь ӧта-мӧд дорас. 1885-ӧд воын Анри Пуанкаре петкӧдлӧма: быть лоны кӧть ӧти чутлы, кодлӧн инман векторыс нуль кузьтаа.

Прӧстӧй кывъясӧн кӧ шуны, гартыштчӧм ёжсӧ некыдз оз позь шыльӧдны: кӧть ӧти ем либӧ кутас чурвидзны, либӧ оз кут артмӧдны орчча емъяскӧд ичӧт пельӧс. 

 "Ёжӧс шыльӧдӧм йылысь теоремаысь" артмӧ: Му вылын кӧть ӧти чутын тӧв оз пӧльт.

P. S. Медбӧръя кык серпасыс ӧтуввезйысь.

Лобачевскӧй геометрия − 5

• куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
• тшӧтшкӧс — плоскость 
• визьньӧв — луч
  
• кытшвизь — окружность 
• вундӧг — отрезок
  
• чӧрс — ось
• куимпельӧсаяс ӧткодьлун — равенство треугольников
• тӧдмалан ног — признак
• ӧтсяма куимпельӧсаяс — подобные треугольники
• эрд — площадь
  

Ӧні ми висьталам Лобачевскӧй тшӧтшкӧсса куимпельӧсаяс йылысь. Бара кутам ставсӧ петкӧдлыны Пуанкарелӧн модель серти.

Кыдзи ми тӧдам нин, веськыд визьясӧн лоӧны либӧ вертикальногса визьньӧвъяс (налӧн помыс куйлӧ абсцисса чӧрс вылын), либӧ кытшвизьджынъяс (налӧн шӧрыс куйлӧ абсцисса чӧрс вылын). Сідзкӧ, куимпельӧсалӧн доръясыс — либӧ вертикальногса вундӧгъяс, либӧ кытшвизьясыслӧн мегыръяс.

Ӧткодьлун тӧдмалан ногъяс. Школаын ми велӧдлім куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ куим тӧдмалан ног: 

1) кык дор да на костса пельӧс серти, 

2) ӧти дор да сы бердса кык пельӧс серти, 

3) куим дор серти. 

Тайӧ теоремаяссӧ подулалігӧн параллельяс йылысь аксиома оз ков. Евклид геометрияысь Лобачевскӧй геометрияын кольӧ став аксиомаыс, параллель йылысь кындзи. Сідзкӧ, и тайӧ куим тӧдмалан ногыс кольӧ.

Вӧлӧмкӧ, Лобачевскӧй геометрияын куимпельӧсаяс ӧткодьлунлӧн эм нӧшта ӧти тӧдмалан ног:

4) куим пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’. 

Евклид геометрияын татшӧм куимпельӧсаясыс сӧмын ӧтсямаӧсь, вермӧны лоны оз ӧткодьӧн.

Куимсэрӧглӧн эрд да пельӧсъяслӧн сумма. Сідзкӧ, Лобачевскӧй куимсэрӧгъяслысь ӧткодьлунсӧ позьӧ тӧдмавны сӧмын налӧн пельӧсъяс серти. Ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧткодьӧсь жӧ. Гашкӧ, позьӧ гижны кутшӧмкӧ формула куимсэрӧглӧн эрдлы, кытчӧ пырӧны сӧмын пельӧсъясыс? Вӧлӧмкӧ, позьӧ — и тайӧ формулаыс зэв кокньыд. Пондам кӧ муртавны пельӧсъяссӧ радианъясӧн, куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ  

S = π − α − β − γ 

(кӧні α, β, γ — куимсэрӧгыслӧн пельӧсъяс; π радиан лоӧ 180°).

Сідзкӧ, Лобачевскӧй куимсэрӧглӧн пельӧсъяслӧн суммаыс пыр лоӧ π радианысь (либӧ 180°-ысь) этшаджык. Евклид куимсэрӧглӧн тайӧ суммаыс пыр лоӧ 180° ыджда.

Пифагорлӧн теорема. Евклид геометрияысь ми тӧдам: веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн кӧ катетъясыс a да b кузьтаӧсь, а гипотенузаыс c кузьта, сэки a² + b² = c².

Лобачевскӧй геометрияын эм Пифагор теоремалы аналог. Формулаыс со кутшӧм: 

ch c = ch a ⋅ ch b,

кӧні a, b — катетъяс, c — гипотенуза, ch — гипербола косинус (сы йылысь ми коркӧ висьтавлім чеп визь йылысь гижӧдын).