Каустикаяс

• йӧткыштчыны — отражаться
• югӧр сетысь — источник света
• ӧтувъя инман чукля визь — общая касательная кривая
• тшӧтшкӧс — плоскость
• вундас — сечение

Гашкӧ, ті аддзывлінныд тасьті либӧ кӧш пыдӧс вылӧ видзӧдігӧн "3" лыдпас формаа югыд визь. Мыйла сійӧ артмӧ?

Оптикаысь ми тӧдам: югӧр йӧткыштчӧ рӧмпӧштан сяма веркӧсысь да вежӧ нырвизьсӧ. Корсюрӧ став йӧткыштчӧм югӧръясыс вомӧнасясны ӧти чутын. Шуам, эллипс йылысь гижӧдын ми висьтавлім: босьтны кӧ эллипс формаа рӧмпӧштан да пуктыны югӧр сетысь сылӧн ӧти фокусӧ, йӧткыштчӧм югӧръяс воасны мӧд фокусӧ; сы местаысь ми аддзам югыд чут. Пырджык йӧткыштчӧм югӧръяслӧн татшӧм ӧтувъя чут абу, но эм ӧтувъя инман чукля визь либӧ инман веркӧс. Буретш сы местаыс и лоас югыдджыкӧн. Тайӧ визьыс либӧ веркӧсыс шусьӧ каустикаӧн.

Медводз видлалам кык пример тшӧтшкӧс вылын.

1. Кытшвизь формаа рӧмпӧштан ӧти чутас пуктам югӧр сетысь. Вӧлӧмкӧ, сэки каустика лоас кардиоидаӧн.

2. Кытшвизьджын формаа рӧмпӧштанлань лэдзам параллель югӧръяс. Сэки каустика лоас нефроида юкӧнӧн.

Татшӧм сяма визьяс позьӧ аддзыны йӧла копей веркӧсысь

либӧ дозмук пыдӧсысь.

Колӧ шуны, тшӧтшкӧсвывса пример отсӧгӧн озджык позь гӧгӧрвоӧдны, мыйла кардиоида артмӧ: лампаыс абу дозмук веркӧс бердӧ крепитӧма. Серпас артмӧм позьӧ стӧчджыка гӧгӧрвоӧдны куим муртӧса модель отсӧгӧн. Босьтам гӧгрӧс конус формаа рӧмпӧштан. Лэдзам параллель югӧръяс, сідзи, медым ӧтиыс муніс рӧмпӧштан веркӧсті. Каустикаӧн лоас кык муртӧса веркӧс. Сылӧн тшӧтшкӧс вундас лоас чукля визьӧн. Вӧлӧмкӧ, тшӧтшкӧсыс кӧ лоӧ конус осьлы перпендикулярӧн, тайӧ вундасыс — кардиоида.

Эпициклоидаяс йылысь

• кытшвизь — окружность
• вӧрастӧм — неподвижный
  
• рациональ лыд — рациональное число
• кытшалана визь — замкнутая кривая
• лыдмӧдны — умножить   

 Водзын ми висьтавлім: кытшвизь кӧ гӧгыльтчӧ веськыд визь вывті буксуйттӧг да шлывгытӧг*, сылӧн быд чут гижтас аслыспӧлӧс чукля визь, коді шусьӧ циклоидаӧн.

Мый артмас, ӧти кытшвизь кӧ гӧгыльтчӧ мӧд (вӧрастӧм) кытшвизь вывті да ӧти кытшыс кӧ куйлӧ мӧд ортсыас?  Гӧгыльтчӧм кӧ лоас буксуйттӧг да шлывгытӧг, кытшвизьса чутлӧн траектория шусьӧ эпициклоидаӧн.

Мед R — вӧрастӧм кытшлӧн радиусыс, r — гӧгыльтчысь кытшлӧн радиусыс, R/r лыдыс рациональ. Сэки эпициклоида лоас кытшалана визьӧн.

 

R/r кӧ лоӧ 1, эпициклоида лоас сьӧлӧм мыгӧра визьӧн; сійӧ шусьӧ кардиоидаӧн.

R/r кӧ лоӧ 2, эпициклоида шусьӧ нефроидаӧн.

R/r кӧ ӧтыджда 3-кӧд, 4-кӧд, 5-кӧд да с.в., эпициклоидаыс  дзоридз кодь лоас.

Эпициклоидаяс артмӧдӧм. Медводз петкӧдлам, кыдзи артмӧдны кардиоида. Кытшвизь вылӧ ӧтмоза пукталам N чут. Нумеруйтам тайӧ чутъяссӧ сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн: 0, 1, 2, 3, ..., N − 1. Гижтам хордаяс со кыдзи: m лыд кӧ N/2‐ысь ичӧтджык, m номера чутсӧ йитам 2m номера чуткӧд (0 йитам 0-кӧд, 1 — 2-кӧд, 2 — 4-кӧд да с.в.). Кор m лоас N/2 либӧ ыджыдджык, m номера чутсӧ йитам 2m − N номера чуткӧд. Артмӧм серпассьыс аддзам кардиоида; став гижтӧм вундӧгыс сыӧ инмӧ.

Нефроида позьӧ артмӧдны сэтшӧм жӧ ногӧн, сӧмын чутъяслысь номеръяссӧ колӧ 3 пӧв лыдмӧдны: 1 йитам 3-кӧд, 2 — 6-кӧд, 3 — 9-кӧд да сідз водзӧ.

Кутам кӧ номеръяссӧ k пӧв лыдмӧдны, артмас k − 1 "лестука" эпициклоида. Колӧ сӧмын, медым N вӧлі k‐ысь ёна ыджыдджык.

Шуам, босьтам кӧ k = 5, со кутшӧм визь артмас:

Босьтам кӧ k = 8, аддзам 7 "лестука" эпициклоида:

Интерактивнӧй программасӧ аддзи ӧтуввезйысь (сэні N = 200). Медым артмис вӧрастӧм серпас, гижӧй "speed" стрӧкаӧ 0. Сэсся бӧрйӧй k = 2, 3, 4, ..., 15 да гижӧй сійӧс "factor" стрӧкаӧ. Аддзанныд k − 1 "лестука" эпициклоида. Вывті ыджыдӧн кӧ босьтанныд k лыдсӧ, эпициклоида пыдди артмасны мӧд серпасъяс: везъяс, кытшвизьяс да мукӧдтор.

* Инман чутыслӧн ӧдыс кӧ быд здукӧ лоас ноль.