Эрд да йӧрыш мурталӧм – 3

• эрд — площадь
• йӧрыш — объём 
• артасьӧм — исчисление
• шӧр ӧд — средняя скорость
• здукся ӧд — мгновенная скорость
• воанлыд — предел
• чӧрс — ось
  
• веськыдсэрӧг — прямоугольник
• ӧтмоза мунӧм — равномерное движение
  

Кыдзи ми аддзим, Важ Элладаын кужлӧмаӧсь нин эрдъяс да йӧрышъяс артавны, весиг зільӧмаӧсь подулавны — мыйла кутшӧмкӧ мӧд лыд оз лӧсяв. Сӧмын быд мыгӧрлысь йӧрышсӧ либӧ эрдсӧ тӧдмавны зэв сьӧкыд вӧлі.

XVII–XVIII нэмӧ Ньютон да Лейбниц лӧсьӧдӧмаӧсь дифференциал да интеграл артасьӧм. Йӧрышъяс да эрдъяс сы отсӧгӧн корсьны абу нин вывті сьӧкыд. Дженьыдика висьталам тайӧ артасьӧм йывсьыс.

Здукся ӧд.

Мед кутшӧмкӧ чут ветлӧ веськыд визьӧд, t кад здукӧ сылӧн координатаыс лоӧ x(t). Сетӧма кӧ t‐сянь t + s‐ӧдз кадколаст, позьӧ артавны чутлысь шӧр ӧдсӧ (s лыд вермӧ лоны плюсаӧн да минусаӧн): v_шӧр = [x(t + s) − x(t)]/s.

Видлалам x(t) = t³. Сэки t‐сянь t + s‐ӧдз кадколастса шӧр ӧд лоас 

[(t + s)³ − t³]/s = (t³ + 3t²s + 3ts² + s³ − t³)/s = 3t² + 3ts + s².

Вайӧй кутам ичӧтмӧдны s лыдсӧ 0-ӧдз. Тадзи
3t² + 3ts + s² пондас матыстчыны 3t² лыдлань да бӧръяпомыс сыӧ и воас. Артмӧм воанлыд шусьӧ t здукся ӧдӧн.

Координата кӧ вежсьӧ кутшӧмкӧ мӧд формула серти, здукся ӧдсӧ позьӧ тадзи жӧ урчитны: гижны шӧр ӧдсӧ, сэсся s лыдсӧ 0-ӧдз ичӧтмӧдны; шӧр ӧдъясыслӧн кӧ эм воанлыд, сійӧ и шусьӧ здукся ӧдӧн.

Нӧшта ӧти видлӧг казьтыштам: x(t) = e^t (e лыд йылысь висьтавлім тані). Вӧлӧмкӧ, t здукся ӧд сідзи жӧ лоас e^t.

Здукся ӧд да графикувса юкӧнлӧн эрд костын йитӧд.

 Мед f(t) ≥ 0 — функция, t₀ ≤ t ≤ t₁. Видлалам сылӧн график да t чӧрс костын куйлысь став чутсӧ. Шуам тайӧ мыгӧрсӧ графикувса юкӧнӧн. Кыдзи артавны сылысь эрдсӧ?

Медводз видлалам f(t) = v функциясӧ. Сэки графикувса юкӧн лоӧ веськыдсэрӧгӧн: ӧти дорыс лоӧ t₁ − t₀, мӧд дорыс лоӧ v. Сідзкӧ, сылӧн эрдыс лоӧ v(t₁ − t₀). 

Вайӧй ӧні ӧтмоза мунӧм видлалам. Мед чут вешйӧ v ӧднас. Сэки сылӧн координатаыс t₀‐сянь t₁‐ӧдз кадколастӧ со кыдзи вежсяс: x(t₁) − x(t₀) = v(t₁ − t₀). 

Сідзкӧ, вежласьтӧм ӧдлӧн графикувса юкӧнлӧн эрд да координата вежласьӧм лоӧ ӧти сійӧ жӧ лыдӧн.

Мед ӧні f(t) функция "тэчӧма" некымын константаысь: t₀‐сянь t₁‐ӧдз сійӧ лоӧ v₁, t₁‐сянь t₂‐ӧдз сійӧ лоӧ v₂, t₂‐сянь t₃‐ӧдз сійӧ лоӧ v₃, да сідз водзӧ. Сэки сылӧн графикувса юкӧн тэчӧма некымын веськыдсэрӧгысь; сідзкӧ, медым артавны сылысь эрдсӧ, колӧ содтыны v₁(t₁ − t₀), v₂(t₂ − t₁), v₃(t₃− t₂) да с.в.

Чут кӧ мунӧ f(t) здукся ӧдӧн, сылӧн координатаыс со кыдзи вежласяс: t₀‐сянь t₁‐ӧдз кадколастӧ сійӧ содас v₁(t₁ − t₀)-ӧн, t₁‐сянь t₂‐ӧдз кадколастӧ сійӧ содас v₂(t₂ − t₁)-ӧн, да с.в. Медым тӧдмавны, кыдзи бӧръяпомыс вежсяс координатаыс, колӧ тайӧ став лыдсӧ содтыны.

Бара миян артмис: ӧдлӧн графикувса юкӧнлӧн эрд да координата вежласьӧм лоӧ ӧти сійӧ жӧ лыд.

Мед ӧні чутлӧн t кад здукся координата лоӧ x(t), а здукся ӧд лоӧ v(t). Вӧлӧмкӧ, и сэки ӧдлӧн графикувса юкӧнлӧн эрд да координата вежласьӧм лоӧ ӧти сійӧ жӧ лыд. (Тайӧ теорема шусьӧ Ньютон–Лейбниц формулаӧн.)

Сідзкӧ, сетӧма кӧ миянлы f(t) функция да тӧдам кӧ ми x(t) функциясӧ, кодлӧн f(t) лоӧ здукся ӧдӧн, вермам кокньыда артавны графикувса юкӧнлысь эрдсӧ.

Мед, шуам, f(t) = 3t². Ми тӧдам нин: x(t) кӧ лоӧ t³, f(t) и лоас здукся ӧдӧн. Сідзкӧ, босьтны кӧ t₀ ≤ t ≤ t₁, графикувса юкӧнлысь эрдсӧ арталам формула серти: S = t₁³ − t₀³. 

А тӧдам кӧ парабола графикувса юкӧнлысь эрд, кужам, сідзкӧ, парабола сегментлысь эрдсӧ артавны. Архимедлы та вылӧ ковмис вӧчны ыджыд удж да зэв ыджыд кужӧм петкӧдлыны.