Лобачевскӧй геометрия − 5

• куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
• тшӧтшкӧс — плоскость 
• визьньӧв — луч
  
• кытшвизь — окружность 
• вундӧг — отрезок
  
• чӧрс — ось
• куимпельӧсаяс ӧткодьлун — равенство треугольников
• тӧдмалан ног — признак
• ӧтсяма куимпельӧсаяс — подобные треугольники
• эрд — площадь
  

Ӧні ми висьталам Лобачевскӧй тшӧтшкӧсса куимпельӧсаяс йылысь. Бара кутам ставсӧ петкӧдлыны Пуанкарелӧн модель серти.

Кыдзи ми тӧдам нин, веськыд визьясӧн лоӧны либӧ вертикальногса визьньӧвъяс (налӧн помыс куйлӧ абсцисса чӧрс вылын), либӧ кытшвизьджынъяс (налӧн шӧрыс куйлӧ абсцисса чӧрс вылын). Сідзкӧ, куимпельӧсалӧн доръясыс — либӧ вертикальногса вундӧгъяс, либӧ кытшвизьясыслӧн мегыръяс.

Ӧткодьлун тӧдмалан ногъяс. Школаын ми велӧдлім куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ куим тӧдмалан ног: 

1) кык дор да на костса пельӧс серти, 

2) ӧти дор да сы бердса кык пельӧс серти, 

3) куим дор серти. 

Тайӧ теоремаяссӧ подулалігӧн параллельяс йылысь аксиома оз ков. Евклид геометрияысь Лобачевскӧй геометрияын кольӧ став аксиомаыс, параллель йылысь кындзи. Сідзкӧ, и тайӧ куим тӧдмалан ногыс кольӧ.

Вӧлӧмкӧ, Лобачевскӧй геометрияын куимпельӧсаяс ӧткодьлунлӧн эм нӧшта ӧти тӧдмалан ног:

4) куим пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’. 

Евклид геометрияын татшӧм куимпельӧсаясыс сӧмын ӧтсямаӧсь, вермӧны лоны оз ӧткодьӧн.

Куимсэрӧглӧн эрд да пельӧсъяслӧн сумма. Сідзкӧ, Лобачевскӧй куимсэрӧгъяслысь ӧткодьлунсӧ позьӧ тӧдмавны сӧмын налӧн пельӧсъяс серти. Ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧткодьӧсь жӧ. Гашкӧ, позьӧ гижны кутшӧмкӧ формула куимсэрӧглӧн эрдлы, кытчӧ пырӧны сӧмын пельӧсъясыс? Вӧлӧмкӧ, позьӧ — и тайӧ формулаыс зэв кокньыд. Пондам кӧ муртавны пельӧсъяссӧ радианъясӧн, куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ  

S = π − α − β − γ 

(кӧні α, β, γ — куимсэрӧгыслӧн пельӧсъяс; π радиан лоӧ 180°).

Сідзкӧ, Лобачевскӧй куимсэрӧглӧн пельӧсъяслӧн суммаыс пыр лоӧ π радианысь (либӧ 180°-ысь) этшаджык. Евклид куимсэрӧглӧн тайӧ суммаыс пыр лоӧ 180° ыджда.

Пифагорлӧн теорема. Евклид геометрияысь ми тӧдам: веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн кӧ катетъясыс a да b кузьтаӧсь, а гипотенузаыс c кузьта, сэки a² + b² = c².

Лобачевскӧй геометрияын эм Пифагор теоремалы аналог. Формулаыс со кутшӧм: 

ch c = ch a ⋅ ch b,

кӧні a, b — катетъяс, c — гипотенуза, ch — гипербола косинус (сы йылысь ми коркӧ висьтавлім чеп визь йылысь гижӧдын).